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Exercícios sobre determinantes

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios sobre determinantes testará seus conhecimentos sobre as determinantes de matrizes com questões resolvidas sobre suas principais propriedades. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

O valor do determinante da matriz a seguir é:

\(A=\left[\begin{matrix}4&3\\2&1\\\end{matrix}\right]\)

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

questão 2

Qual deve ser o valor de x na matriz para que seu determinante seja igual a 5?

\(B=\left[\begin{matrix}x+1&4\\x&3\\\end{matrix}\right]\)

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

questão 3

Analise a matriz a seguir:

\(A=\left(\begin{matrix}1&4&1\\2&2&-1\\3&0&1\\\end{matrix}\right)\)

O determinante dessa matriz é igual a:

A) -12 

B) -16 

C) -24

D) 15

E) 32

questão 4

Dada as matrizes \(A=\left[\begin{matrix}6&-6\\1&4\\\end{matrix}\right]\) e \(B=\left[\begin{matrix}2&8\\-2&4\\\end{matrix}\right]\), então a razão entre o determinante da matriz A e o da matriz B é igual a:

A) 2/3

B) 3/2

C) 4/5

D) 5/4

questão 5

Analisando a matriz \(A=\left[\begin{matrix}4&x+3\\x-4&-3\\\end{matrix}\right]\), o menor valor de x que faz com que det(A) = 0 é:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

questão 6

Seja A a matriz \(A=\left[\begin{matrix}5&2\\3&0\\\end{matrix}\right]eB a matrizB=\left[\begin{matrix}8&5\\2&1\\\end{matrix}\right]\), então o determinante da matriz det(A+B) é igual a:

A) -10

B) -8

C) -6

D) -4

E) -2

questão 7

Dada a matriz \(A=\left(\begin{matrix}2&3&1\\4&6&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right)\), sabemos que o determinante dela igualado a zero nos dá a equação da reta que passa pelos pontos os pontos (2,3) (4,6). Então essa equação será:

A) 3x + 2y = 0

B) -3x + 2y = 0

C) -2x + y  =0

D) 2x – y = 0

E) x – 3y = 0

questão 8

Sobre a matriz \(A=\left|\begin{matrix}a&b&c\\d&0&f\\2a&2b&2c\\\end{matrix}\right|\), podemos afirmar que:

A) O seu determinante é 0, pois a linha 1 e a linha 3 são múltiplas.

B) O seu determinante é 0, pois o termo central da matriz é 0.

C) O seu determinante pode ser diferente de 0, dependendo dos valores de a, b, c.

E) O seu determinante é igual a 1, pois o produto da diagonal principal é 0.

questão 9

(UEL) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero

Soma de determinantes com seus elementos representados por incógnitas.

A) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.

B) se e somente se a = b.

C) se e somente se a = -b.

D) se e somente se a = 0.

E) se e somente se a = b = 1.

questão 10

(PM ES – AOCP). Para saber o custo total (em reais) na produção de x uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento x, da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir, e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes x uniformes é igual ao valor do determinante.

\(\left|\begin{matrix}x&1&0\\0&-x&100\\0&-1&1\\\end{matrix}\right|\)

Dessa forma, para se produzir 70 uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de

A) R$ 4100.

B) R$ 3500.

C) R$ 3100.

D) R$ 2500.

E) R$ 2100.

questão 11

(Uesp) Se o determinante da matriz \(\left[\begin{matrix}2&1&0\\k&k&k\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\) é igual a 10, então o determinante da matriz \(\left[\begin{matrix}2&1&0\\k+4&k+3&k-1\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\) é igual a:

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

questão 12

(IBADE 2018) Considere as matrizes A e B, quadradas de ordem 2, com detA = 10 e detB = 2. Então o valor de det[(4.A).(3.B)] é igual:

A) \( 2^6\cdot3^2\cdot5^3\)

B) \( 2^4\cdot3^3\cdot5\)

C) \( 2^6\cdot3^2\cdot5^2\)

D) \( 2^6\cdot3^2\cdot5\)

E) \( 2^6\cdot3^4\cdot5\)

respostas
Questão 1

Alternativa A

Vamos fazer o cálculo do determinante:

\(detA=4\cdot1-3\cdot2\)

\(detA=4-6\)

\(detA=-2\)

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Questão 2

Alternativa A

\(detB=\left(x+1\right)\cdot3-4\cdot x\)

\(detB=3x+3-4x\)

\(detB=-x+3\)

Sabendo que esse determinante é igual a 5, então temos que:

− x + 3 = 5

− x = 5 − 3

− x = 2 (−1)

x = − 2

 

 

 

 

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Questão 3

Alternativa C

Calculando o determinante da matriz, temos que:

\(detA=\left|\begin{matrix}1&4&1\\2&2&-1\\3&0&1\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&4\\2&2\\3&0\\\end{matrix}\)

\(detA=1\cdot2\cdot1+4\cdot\left(-1\right)\cdot3+1\cdot2\cdot0-1\cdot2\cdot3-1\cdot\left(-1\right)\cdot0-4\cdot2\cdot1\)

\(detA=2-12+0-6-0-8\)

\(detA=-24\)

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Questão 4

Alternativa D

Calculando os determinantes, temos que:

\(det\left(A\right)=6\cdot4-\left(-6\right)\cdot1=24+6=30\)

\(det\left(B\right)=2\cdot4-8\cdot\left(-2\right)=8+16=24\)

Então, a razão entre det(A) e det(B) é igual a:

\(\frac{{30}^{:6}}{{24}_{:6}}=\frac{5}{4}\)

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Questão 5

Alternativa C

Calculando o determinante, temos que:

\(det\left(A\right)=4\cdot\left(-3\right)-\left(x+3\right)\cdot\left(x-4\right)\)

\(det\left(A\right)=-12-\left[x^2-4x+3x-12\right]\)

\(det\left(A\right)=-12-\left[x^2-x-12\right]\)

\(det\left(A\right)=-12-x^2+x+12\)

\(det\left(A\right)={-x}^2+x\)

Queremos que:

\(-x^2+x=0\)

Então temos que:

\(x\left(-x+1\right)=0\)

x = 0 ou \(-x+1=0\)

Resolvendo a segunda, temos que:

\(-x=-1\)

\(x=1\)

Então as soluções são x = 0 e x = 1. Como queremos a menor delas, temos que x = 0.

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Questão 6

Alternativa B

Sabemos que:

det(A+B) = detA + detB

Então temos que:

\(detA=5\cdot0-3\cdot2=0-6=-6\)

\(detB=8\cdot1-5\cdot2=8-10=-2\)

Dessa forma:

det (A + B) = - 6 + ( - 2) = - 8

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Questão 7

Alternativa B

Calculando o determinante, temos que:

\(de\left(A\right)=2\cdot6\cdot1+3\cdot1\cdot x+1\cdot4\cdot y-1\cdot6\cdot x-2\cdot1\cdot y-3\cdot4\cdot1\)

\(det\left(A\right)=12+3x+4y-6x-2y-12\)

\(det\left(A\right)=-3x+2y\)

Assim, a equação da reta será:

\(-3x+2y=0\)

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Questão 8

Alternativa A

Quando uma linha da matriz é multiplicada de outra, o determinante é igual a 0, fato esse que acontece com as linhas 1 e 3.

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Questão 9

Alternativa A

Calculando os determinantes, temos que:

\(a\cdot a-b\cdot b\pm a\cdot a-\left(-b\right)\cdot b=0\)

\(a^2-b^2-a^2+b^2=0\)

\(0=0\)

Note que, independentemente do valor de a e de b, essa soma dos determinantes sempre será igual a 0.

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Questão 10

Alternativa E

Calculando o determinante da matriz, temos que:

\(det=x\cdot\left(-x\right)\cdot1+1\cdot100\cdot0+0\cdot0\cdot\left(-1\right)–0⋅-x⋅0–-1⋅100⋅x–1⋅0⋅1\)

\(det=-x^2+100x\)

Como x = 70, temos que:

\(det=-{70}^2+100\cdot70\)

\(det=-4900+7000\)

\(det=2100\)

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Questão 11

Alternativa C

Calculando o determinante da primeira matriz:

\(A=\left[\begin{matrix}2&1&0\\k&k&k\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\)

Temos que:

\(det\left(A\right)=2\cdot k\cdot\left(-2\right)+1\cdot k\cdot1+0\cdot k\cdot2-0\cdot k\cdot1-2\cdot k\cdot2-1\cdot k\cdot\left(-2\right)\)

\(det\left(A\right)=-4k+k+0-0-4k+2k\)

\(det\left(A\right)=-5k\)

Como det(A) = 10, temos que:

\(-5k=10\)

\(k=\frac{10}{-5}\)

\(k=-2\)

Sabendo que k = 2, então agora é possível calcular o determinante da segunda matriz, substituindo k por 2.

\(B=\left[\begin{matrix}2&1&0\\k+4&k+3&k-1\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\)

\(B=\left[-\begin{matrix}2&1&0\\2+4&-2+3&-2-1\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\)

\(B=\left[\begin{matrix}2&1&0\\2&1&-3\\1&2&-2\\\end{matrix}\right]\)

Calculando det(B), temos que:

\(det\left(B\right)=2\cdot1\cdot\left(-2\right)+1\cdot\left(-3\right)\cdot1+0\cdot2\cdot2-0\cdot1\cdot1-2\cdot\left(-3\right)\cdot2-1\cdot2\cdot\left(-2\right)\)

\(det\left(B\right)=-4-3+0+0+12+4\)

\(det\left(B\right)=9\)

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Questão 12

Alternativa D

Analisando os determinantes, temos que:

\(det\left[\left(4\cdot A\right)\cdot\left(3\cdot B\right)\right]=det\left(4A\right)\cdot det\left(3B\right)\)

Sabendo que a matriz é de ordem 2, temos que:

\(det\left[\left(4\cdot A\right)\cdot\left(3\cdot B\right)\right]=4^2det\left(A\right)\cdot3^2det\left(B\right)\)

\(det\left[\left(4\cdot A\right)\cdot\left(3\cdot B\right)\right]=4^2\cdot10\cdot3^2\cdot2\)

\(det\left[\left(4\cdot A\right)\cdot\left(3\cdot B\right)\right]=2^4\cdot2\cdot5\cdot3^2\cdot2\)

\(det\left[\left(4\cdot A\right)\cdot\left(3\cdot B\right)\right]=2^6\cdot3^2\cdot5\)

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