Vamos encontrar o que foi pedido utilizando o algoritmo da divisão:

   x² - 5x + 6    |x² - 7x + 12
- x² + 7x - 12     1
          2x - 6

Portanto, o quociente é 1 e o resto é 2x – 6.

Para encontrar o valor de s(x), vamos utilizar o algoritmo da divisão, isto é:

dividendo  |  divisor    ↔ quociente * divisor + resto = dividendo
   resto       quociente

Nesse caso, o dividendo é o polinômio p(x), e o divisor é o q(x). Então vamos procurar um valor para o quociente tal que, quando este for multiplicado pelo divisor, resulte no termo de maior grau do dividendo ou no mais próximo dele. Lembrando que colocaremos esse resultado embaixo do dividendo, com o sinal oposto. Veja como ficará:

  x⁴ - 13x³ + 30x² + 4x - 40    | x² - 9x - 10
- x⁴ + 9x³ + 10x²                      x² - 4x + 4
   0 - 4x³ + 40x² + 4x
        4x³ - 36x² - 40x
           0 + 4x² - 36x - 40
              - 4x² + 36x + 40
                                   0

Portanto, caso quiséssemos conferir, basta confirmar que quociente * divisor + resto = dividendo, ou seja, mostrar que (x² - 4x + 4) * (x² - 9x - 10) + 0 = x⁴ - 13x³ + 30x² + 4x - 40, utilizando para isso a propriedade distributiva da multiplicação e agrupando termos semelhantes.

Como já vimos, temos duas maneiras de representar o algoritmo da divisão e uma delas é pela forma equacional quociente * divisor + resto = dividendo. Utilizando-nos dessa ideia, podemos fazer:

                                                  (x² - x - 2) * (x² + x) = (7x - 1) = f(x)

Munidos das propriedades de equações, temos:

                                               x⁴ + x³ - x³ - x² - 2x² - 2x + 7x - 1 = f(x)
                                                         f(x) = x⁴ - 3x² + 5x - 1

Podemos representar o algoritmo da divisão pela forma equacional quociente * divisor + resto = dividendo. Partindo desse raciocínio, temos:

                         (2x - 1) * S(x) + (3x + 5) = 2x³ - 3x² + 8x + 3

Utilizando os princípios básicos de resolução de equações:

                         (2x - 1) * S(X) = 2x³ - 3x² + 8x - 3x + 3 - 5
                               S(x) = 2x³ - 3x² + 5x - 2 
                                                  2x - 1

Vamos agora utilizar o algoritmo da divisão para encontrar o polinômio S(x):

   2x³ - 3x² + 5x - 2   |  2x - 1      
- 2x³ +   x²                  x² - x + 2
      0 -  2x² + 5x 
            2x² -   x
              0 +  4x - 2
                  - 4x + 2
                           0

Portanto, S(x) = x² – x + 2. A alternativa correta é a letra (e).