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Exercícios sobre Equação do 2º Grau

Exercícios de Matemática

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Equação do 2º Grau e veja a resolução comentada. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

 Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:

A) nenhuma solução real.

B) uma única solução real.

C) duas soluções reais.

D) três soluções reais.

E) infinitas soluções reais.

  

questão 2

 Uma região retangular teve as suas dimensões descritas em metros, conforme a imagem a seguir:

O valor de x que faz com que a área dessa região seja igual a 21 é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) -6 

questão 3

 Uma equação foi descrita da seguinte maneira:

(k² – 4) x³ + ( k – 2 )x² + 7x - 8 = 0

Analisando os coeficientes, o valor de k que faz com que essa equação seja uma equação do 2º grau é:

A) k = ± 2

B) k = + 2

C) k = - 2

D) k = 0

E) k = 4

  

questão 4

Das equações quadráticas abaixo e sabendo que a = 1, qual é a equação que possui as soluções x1 = 2 e x2 = - 3?

A) x² + x – 6 = 0

B) x² – x – 6 = 0

C) x² +5x + 6 = 0

D) x² – 5x +6 = 0

E) x² + x – 1 = 0

 

questão 5

 O produto entre as raízes da equação 2x² + 4x - 6 = 0 é igual a:

A) - 2

B) 2

C) 1

D) 3

E) - 3

  

questão 6

Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.

I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.

II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.

III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:

A) todas estão incorretas.

B) somente a afirmativa I está correta.

C) somente a afirmativa II está correta.

D) somente a afirmativa III está correta.

E) todas estão corretas.

questão 7

Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é:

A) x’ = 2 e x” = - 1

B) x’ = -10 e x” = -1

C) x’ = -5 e x” = 1

D) x’ =5 e x” = 1

E) x’ =6 e x” = - 6

questão 8

 A multiplicação entre a idade de Kárita e a idade de Karla é igual a 374. Kárita é 5 anos mais velha que Karla. Quantos anos Karla e Kárita possuem respectivamente?

A) 12 e 17 anos

B) 17 e 22 anos

C) 22 e 27 anos

D) 20 e 25 anos

E) 18 e 23 anos

  

questão 9

 (Enem 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = -t²/4 +400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

A) 19,0

B) 19,8

C) 20,0

D) 38,0

E) 39,0

 

  

questão 10

(Fatec) Se a equação x² - 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é

A) 100

B) 25

C) 5

D) 1

E) 0

questão 11

(Enem 2010) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções V1(t) = 250t³ - 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.

Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a

A) 1,3 h.

B) 1,69 h.

C) 10,0 h.

D) 13,0 h.

E) 16,9 h.

questão 12

(UERGS) Sendo S a soma e P o produto das raízes da equação 2x² − 5x − 7 = 0, pode-se afirmar que:

A) S − P = 6.

B) S + P = 2.

C) S ⋅ P = 4.

D) S/P= 1

E) S < P

respostas
Questão 1

Resolução

Alternativa B.

Para encontrar o número de soluções reais de uma equação do 2º grau, é necessário encontrar o valor do discriminante (delta). Para isso, encontraremos primeiro o valor dos coeficientes a, b e c na equação:

a = 1

b = -2

c = 1

Agora vamos calcular o valor de delta:

Δ = b² – 4ac

Δ = (-2)² – 4 ·1·1

Δ = 4 – 4

Δ = 0

O valor de delta mostra o número de soluções da equação, sem ter a necessidade de calcular os valores dessas raízes. Como Δ = 0, a equação possui uma única solução real.

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Questão 2

Resolução

Alternativa D.

A área de um retângulo é calculada pelo produto entre as medidas de seus lados, então:

(x + 3) ( x – 1) = 21

Aplicando a propriedade distributiva, temos que:

x² – 1x +3x – 3 = 21

x² +2x – 3 = 21

Para que seja possível aplicar a fórmula de Bhaskara, vamos igualar a equação a zero:

x² + 2x – 3 – 21 = 0

x² + 2x – 24 = 0

Os coeficientes da equação são:

a = 1

b= 2

c = - 24

Calculando o valor de delta, temos que:

Δ = b² – 4ac

Δ = (2)² – 4 ·1·(-24)

Δ = 4 + 96

Δ = 100

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontraremos:

Note que o valor x = -6 faria com que os lados do retângulo fossem valores negativos, logo, entre as soluções da equação, a única que faz sentido é x = 4.

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Questão 3

Resolução

Alternativa C.

Para que essa equação seja do 2º grau, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero, ou seja:

Condição I:

k² – 4 = 0

k² = 4

k = ±√4

k = ± 2

Logo, para satisfazer a primeira condição, temos k = 2 ou k = -2.

Agora vamos analisar a segunda condição.

Condição II:

k – 2 ≠ 0

k ≠ 2.

O valor que satisfaz ambas as condições é k = -2.

 

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Questão 4

Resolução

Alternativa A.

Conhecendo as soluções da equação, temos que:

a(x – x1) (x – x2) = 0

Substituindo os valores dados, temos que:

1·( x – 2 ) ( x - (-3)) = 0

(x – 2 ) ( x + 3) = 0

x² +3x – 2x – 6 = 0

x² + x – 6 = 0

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Questão 5

Resolução

Alternativa E.

Pela fórmula da soma e produto, temos que:

Vamos analisar os coeficientes da equação:

2x² + 4x - 6 = 0

a = 2

b = 4

c = -6

Utilizando somente a segunda equação, temos que:

Logo, o produto entre as raízes da equação é -3.

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Questão 6

Resolução

Alternativa B.

Vamos analisar cada uma das afirmativas.

I – Falsa. Nem sempre a equação do segundo grau possui solução. Uma forma de verificar se a equação possui solução nos números reais é calcular o delta. Caso ele seja negativo, a equação não possui solução real.

II — Verdadeira. Por definição, a equação é incompleta quando b = 0 ou quando c = 0.

III – Falsa. Quando o valor do discriminante é positivo, há duas soluções reais na equação, independentemente de ele possuir raiz quadrada exata ou não.

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Questão 7

Resolução

Alternativa C.

Queremos encontrar as soluções da equação -x² -4x +5 = 0.

Para calcular o valor de delta, temos que:

a = - 1 b = -4 e c = 5

Δ = (-4)² -4·(-1)·5

Δ = 16 + 4 ·5

Δ = 16 + 20

Δ = 36

 

Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que:

 

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Questão 8

 Resolução

Alternativa B.

Seja x a idade da Karla, então, como Kárita é 5 anos mais velha, a sua idade pode ser representada por x+5. Sabemos que o produto da idade delas é igual a 374, então temos que:

x (x+5) = 374

Aplicando a propriedade distributiva:

x² + 5x = 374

Igualando a equação a zero, teremos:

x² + 5x – 374 = 0

a = 1 b = 5 c = – 374

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 5² – 4.1. (– 374)

Δ = 25 + 1496

Δ = 1521

Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que:

Note que x” resultaria em um valor negativo, o que faz com que ele não seja solução do problema, pois não existe idade negativa.

Como x é a idade da Karla, ela possui 17 anos.

Já a Kárita possui x+5, ou seja, 17 + 5 = 22 anos.

  

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Questão 9

Resolução

Alternativa D.

Devido à trava, o forno pode ser aberto somente quando ele atinge 39 ºC, então faremos T(t) = 39.

Como t é tempo, então ele é necessariamente positivo, ou seja, t = 38 minutos.

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Questão 10

Alternativa B.

Para que uma raiz tenha multiplicidade 2, a equação precisa ter uma única solução, ou seja, Δ = 0. Vamos calcular o valor de Δ na equação x² - 10x + k = 0, em que a=1 b= -10 e c = k.

Δ = b² – 4ac

Δ = (-10)² – 4 ·1·k

Δ = 100 – 4k

Mas Δ= 0, então:

100 – 4k = 0

100 = 4k

100 : 4 = k

25 = k

Logo, k = 25 é o valor que faz com que a equação tenha uma solução de multiplicidade 2.

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Questão 11

 Resolução

 Alternativa A.

Para que o volume seja igual, faremos:

V1(t) = V2(t)

250t³ - 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000

Podemos isolar a incógnita t e encontraremos:

250t³ – 150 t³ – 100t – 69t = 3000 – 3000

100t³ -169t = 0

Colocando t em evidência, temos que:

t (100t² – 169) = 0

Sabemos que uma multiplicação é zero quando um dos seus fatores é zero, ou seja:

(I) t = 0 (solução já apresentada no enunciado) ou (II) 100t² – 169 = 0

Resolvendo o caso II, temos que:

Como t representa o tempo, então descartaremos a opção negativa, logo temos t = 1,3.

   

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Questão 12

 Resolução

Alternativa A.

Dada a equação 2x² − 5x − 7 = 0, sabemos que a soma e o produto das raízes podem ser calculados da seguinte maneira:

Os coeficientes da equação são:

a = 2

b = -5

c= -7

Então, a soma S e o produto P serão:

Agora, sabendo que S = 2,5 e P = -3,5 e analisando as afirmativas, é possível verificar que a alternativa A é a correta, pois:

S – P = 6

2,5 - (-3,5) = 6

2,5 + 3,5 = 6

  

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