Exercícios sobre equações logarítmicas

Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

A subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente. Sendo assim, vamos reescrever a equação:

log₁₀ (4x – 2) = log₁₀ 2 – log₁₀ (2x – 1)

Como temos uma igualdade de logaritmos de mesma base, podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

4x – 2 = 2
             2x – 1
(4x – 2)(2x – 1) = 2
8x² – 8x + 2 = 2
8x² – 8x = 0
8(x² – x) = 0
x² – x = 0
x₁ = 0
x₂ = 1

Podemos desconsiderar o x₁ = 0, pois a condição de existência dos logaritmos dessa expressão mostra-nos que x > ½. Portanto, o único valor de x para o qual a igualdade log₁₀ (4x – 2) = log₁₀ 2 – log₁₀ (2x – 1) é válida é x = 1.

Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:

Aplicando a propriedade básica do logaritmo, temos:

log_{2x + 1} (10x – 3) = 1
(2x + 1)¹ = 10x – 3
2x + 1 = 10x – 3

2x – 10x = – 3 – 1
– 8x = – 4 (– 1)
8x = 4
x = 4
      8

x = 1
      2

Portanto, a única solução possível para log_{2x + 1} (10x – 3) = 1 é x = ½.

Para resolver a equação logarítmica em questão, aplicaremos o princípio básico dos logaritmos:

Sabendo que 3√3 = √3³, temos:

x = √3

Portanto, a solução da equação logarítmica  é x = √3. A alternativa correta é a letra e.

A fração ½ pode ser escrita como 2 ^{– 1}:

Como as bases estão iguais, podemos estabelecer uma igualdade entre os expoentes:

log₃ log₂ x = – 1

Resolvendo o primeiro logaritmo, cuja base é 3, temos:

log₃ (log₂ x) = – 1
3 ^{– 1} = log₂ x
log₂ x = 1
             3

Aplicando novamente o logaritmo, podemos determinar o valor de x:

Conforme foi pedido no enunciado, vamos calcular o valor de x³:

Portanto, a alternativa correta é a letra c.