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Exercícios sobre fatoração de polinômios

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios sobre fatoração de polinômios avaliará sua compreensão sobre esse método, utilizado para simplificar operações entre polinômios. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Durante a resolução de um problema de Matemática, o professor realizou a seguinte fatoração:

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

Esse caso de fatoração é conhecido como

A) trinômio quadrado perfeito.

B) diferença de dois cubos.

C) diferença de dois quadrados.

D) fatoração por agrupamento.

E) fator comum em evidência.

questão 2

Simplificando o polinômio a seguir:

\(\frac{2x^3-20x^2+50x}{x^2-10x+25}\)

encontraremos

A) \(2x\)

B) \(x\ +\ 5\ \)

C) \(2(x\ –5)\)

D) \((x+5)²\)

questão 3

Sobre a fatoração de polinômios, marque a alternativa INCORRETA.

A) \( x²-y²=(x+y)(x –y)\)

B) \( x²+2x+4=(x+2)²\)

C) \( ax+bx+cx=x(a+b+c)\ \)

D) \( x^2-5x-25=\left(x-5\right)^2\)

E) x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)

questão 4

Sabendo que a + b = 8 e que a² – b² = 16, qual o valor de b?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

questão 5

Sabendo que x > y, a expressão algébrica

\(\frac{\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)}{x+y}\)

pode ser simplificada como:

A) x + y

B) x – y

C) x² – y²

D) (x – y)²

E) (x + y)²

questão 6

O polinômio cuja fatoração é (x + y)(a + b) é:

A) x² + 2xy + 2xy + b²

B) xa + xb + yb + ya

C) xa² + yb² + xa + xb

D) ax² + 2xy + 2yb + b²

E) ax + ay – bx – bx

questão 7

Analisando as alternativas, marque aquela que corresponde à fatoração correta do seguinte polinômio:

\(x^2-10x+25\)

A) x2-52

B) x+52

C) x-52

D) x+53

E) x-53

questão 8

Durante os seus estudos de Cálculo 1, Marcelo se deparou com a seguinte equação: x² + y² + 2x – 2y + 2 = 0. Realizando a fatoração, essa equação pode ser reescrita como:

A) \( (x+y)²(x –y)² \)

B) \( (x+2)²-(y+2) \)

C) \( (x\ –1)²∶(y+1)\)

D) \( (x\ –1)²+(y+1)²\)

E) \( (x+1)²+(y-1)²\)

questão 9

(Prefeitura de Bataguassu – MS) Se ab = 8 e a²b + ab² + a + b = 90, qual o valor de a³ + b³?

A) 740

B) 750

C) 760

D) 840

questão 10

(Unoesc – Prefeitura de Vargem Bonita) Com relação às expressões algébricas, são feitas as seguintes afirmações:

I. 2(4 – 2y) = 8 – 8y

II. 2(2a + 6) = 4(a + 3)

III. (x + y)² = x² + 2xy + y²

É correto o que se afirma apenas em:

A) II

B) III

C) I e III

D) II e III

questão 11

A forma fatorada da expressão

\(\frac{3a^2+6ab+3b^2}{2a+2b+3a-3b}\)

é:

A) a + b

B) 3a + 3b

C) a – b

D) 3(a² – b²)

E) 3

questão 12

Durante as aulas de Matemática, um estudante utilizou o seguinte método de fatoração:

\(ax+3b+bx+3a\ \)

\(ax+3a+3b+bx\ \)

\(a\left(x+3\right)+b\left(x+3\right)\)

\((a+b)(x+3)\)

Esse método de fatoração é conhecido como:

A) fator comum em evidência.

B) fatoração por agrupamento.

C) fatoração do trinômio quadrado perfeito.

D) fatoração da diferença de dois quadrados.

questão 13

A forma fatorada da expressão 27y³ – 8 é:

A) (3y – 2)³

B) (3y – 2)(3y + 2)

C) (3y + 2)(9y² – 4)

D) (3y – 2)(9y² + 6y + 4)

E) 3y (9y² – 6y + 4)

respostas
Questão 1

Alternativa C

Esse caso de fatoração de polinômio é conhecido como diferença de dois quadrados. Sabemos que podemos reescrever 4 como 2². Assim, obteremos o seguinte polinômio: x² – 2². Perceba que nesse caso existe, então, a diferença entre dois quadrados.

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Questão 2

Alternativa A

Realizando a fatoração, podemos colocar 2x em evidência no numerador. Logo, o numerador será:

\(\frac{2x\left(x^2-10x+25\right)}{x^2-10x+25}\)

Perceba que o termo \(x^2-10x+25\) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Assim, podemos simplificar o polinômio, restando apenas 2x no numerador.

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Questão 3

Alternativa D

Dentre as alternativas, a única que não corresponde a uma fatoração de polinômio é a letra D, pois o correto seria:

\(x^2-5x+25=\left(x-5\right)^2\)

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Questão 4

Alternativa B

Utilizando fatoração, sabemos que:

\(a²-b²=(a+b)(a –b)\)

Então, temos:

\((a+b)(a\ –b)=16\)

Porém, sabemos que:

\(a+b=8\)

\(8\left(a-b\right)=16\)

\(a-b=\frac{16}{8}\)

\(a-b=2\ \)

Logo, obtemos o seguinte sistema:

Realizando a soma das linhas:

\(2a=10\ \)

\(a=10∶2\ \)

\(a=5\)

Sabemos que a = 5, então encontraremos o valor de b:

\(a+b=8\ \)

\(5+b=8\)

\(b=8-5\ \)

\(b=3\ \)

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Questão 5

Alternativa D

Simplificando a expressão algébrica:

\(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

Substituindo na equação:

\(\frac{\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x+y}\)

Note que o termo x + y  é comum ao numerador e ao denominador. Logo, podemos simplificar, restando somente:

\(\left(x-y\right)\left(x-y\right)\)

Que é o mesmo que:

\(\left(x-y\right)^2\)

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Questão 6

Alternativa B

Para encontrar o polinômio que possui fatoração igual (x + y)(a + b), basta calcularmos o produto. Aplicando a propriedade distributiva:

(x + y)(a + b) = xa + xb + ya + yb

Como a ordem das parcelas não altera a soma:

(x + y)(a + b)

 xa + xb + yb + ya

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Questão 7

Alternativa C

Sabemos que esse é um trinômio quadrado perfeito. Como temos -10 no termo central, ele será igual ao quadrado da diferença.

\(\sqrt x=x\)

\(\sqrt{25}=5\)

O termo central é igual a:

\(-\ 2\cdot5\cdot x=-\ 10x\ \)

Assim, temos que:

\(x^2-10x+25=\left(x-5\right)^2\)

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Questão 8

Alternativa E

Analisando o polinômio, concluímos que podemos dividi-lo da seguinte maneira:

\((x²+2x)+(y²-2y)+2=0 \)

Sabemos que:

2 = 1 + 1

Para completar os trinômios, reescrevemos o polinômio da seguinte forma:

\(\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-2x+1\right)=0\)

Realizando a fatoração:

\(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)

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Questão 9

Alternativa C

Fatorando a³+b³, temos:

\(a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) \)

Substituindo os valores conhecidos:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-8+b^2\right)\)

Por outro lado, temos que:

\(a²b+ab²+a+b=90\)

Fatorando:

\(ab\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)=90\)

\(8\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)=90\)

\(9\left(a+b\right)=90\)

\(a+b=90∶9\ \)

\(a+b=10\ \)

Sabemos também que:

\(\left(a+b\right)^2={10}^2\)

\(a^2+2ab+b^2=100\)

\(a^2+b^2+2ab=100\)

Porém:

ab = 8

\(a^2+b^2+2\cdot8=100\)

\(a^2+b^2+16=100\)

\(a^2+b^2=100-16\)

\(a^2+b^2=84\)

Portanto, obtemos:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-8+b^2\right)\)

\(a^3+b^3=10\ \left(a^2+b^2-8\right)\)

\(a^3+b^3=10\ \left(84-8\right)\)

\(a^3+b^3=10\cdot76\ \)

\(a³+b³=760 \)

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Questão 10

Alternativa D

I. Falsa

Aplicando a propriedade distributiva, o correto seria 8 – 4y.

II. Verdadeira

Foi feita uma nova fatoração. Note que 2a e 6 são múltiplos de 2. Logo, temos que:

\(2\left(2a+6\right)=2\cdot2\left(a+3\right)=4\left(a+3\right)\)

III. Verdadeira

Esse é o quadrado da soma. Se fatorarmos x² + 2xy + y², encontraremos (x + y)².

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Questão 11

Alternativa A

\(\frac{3a^2+6ab+3b^2}{3a+3b}\)

Realizando a fatoração, temos que:

\(\frac{3(a^2+2ab+b^2)}{3\ (a\ +\ b)\ }\)

\(\frac{a^2+2ab+b^2}{a\ +\ b\ }\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}\)

Assim, a simplificação da expressão é:

\(a\ +\ b\)

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Questão 12

Alternativa B

Esse é um caso de fatoração por agrupamento, já que os termos foram agrupados de dois em dois.

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Questão 13

Alternativa D

Esse é um caso do cubo da diferença. Assim, temos:

\(27y³=(3y)³\)

\(8=2³ \)

\(27y^3-8=3y–23y2+2⋅3y+22\)

\(27y^3-8=\left(3y-2\right)\left(9y^2+6y+4\right)\)

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