Exercícios sobre fatoração de polinômios

Alternativa C

Esse caso de fatoração de polinômio é conhecido como diferença de dois quadrados. Sabemos que podemos reescrever 4 como 2². Assim, obteremos o seguinte polinômio: x² – 2². Perceba que nesse caso existe, então, a diferença entre dois quadrados.

Alternativa A

Realizando a fatoração, podemos colocar 2x em evidência no numerador. Logo, o numerador será:

$\frac{2x\left(x^2-10x+25\right)}{x^2-10x+25}$

Perceba que o termo $x^2-10x+25$ aparece tanto no numerador quanto no denominador. Assim, podemos simplificar o polinômio, restando apenas 2x no numerador.

Alternativa D

Dentre as alternativas, a única que não corresponde a uma fatoração de polinômio é a letra D, pois o correto seria:

$x^2-5x+25=\left(x-5\right)^2$

Alternativa B

Utilizando fatoração, sabemos que:

$a²-b²=(a+b)(a –b)$

Então, temos:

$(a+b)(a\ –b)=16$

Porém, sabemos que:

$a+b=8$

$8\left(a-b\right)=16$

$a-b=\frac{16}{8}$

$a-b=2\ $

Logo, obtemos o seguinte sistema:

Realizando a soma das linhas:

$2a=10\ $

$a=10∶2\ $

$a=5$

Sabemos que a = 5, então encontraremos o valor de b:

$a+b=8\ $

$5+b=8$

$b=8-5\ $

$b=3\ $

Alternativa D

Simplificando a expressão algébrica:

$x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)$

Substituindo na equação:

$\frac{\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x+y}$

Note que o termo x + y  é comum ao numerador e ao denominador. Logo, podemos simplificar, restando somente:

$\left(x-y\right)\left(x-y\right)$

Que é o mesmo que:

$\left(x-y\right)^2$

Alternativa B

Para encontrar o polinômio que possui fatoração igual (x + y)(a + b), basta calcularmos o produto. Aplicando a propriedade distributiva:

(x + y)(a + b) = xa + xb + ya + yb

Como a ordem das parcelas não altera a soma:

(x + y)(a + b)

 xa + xb + yb + ya

Alternativa C

Sabemos que esse é um trinômio quadrado perfeito. Como temos -10 no termo central, ele será igual ao quadrado da diferença.

$\sqrt x=x$

$\sqrt{25}=5$

O termo central é igual a:

$-\ 2\cdot5\cdot x=-\ 10x\ $

Assim, temos que:

$x^2-10x+25=\left(x-5\right)^2$

Alternativa E

Analisando o polinômio, concluímos que podemos dividi-lo da seguinte maneira:

$(x²+2x)+(y²-2y)+2=0$

Sabemos que:

2 = 1 + 1

Para completar os trinômios, reescrevemos o polinômio da seguinte forma:

$\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-2x+1\right)=0$

Realizando a fatoração:

$\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=0$

Alternativa C

Fatorando a³+b³, temos:

$a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)$

Substituindo os valores conhecidos:

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-8+b^2\right)$

Por outro lado, temos que:

$a²b+ab²+a+b=90$

Fatorando:

$ab\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)=90$

$8\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)=90$

$9\left(a+b\right)=90$

$a+b=90∶9\ $

$a+b=10\ $

Sabemos também que:

$\left(a+b\right)^2={10}^2$

$a^2+2ab+b^2=100$

$a^2+b^2+2ab=100$

Porém:

ab = 8

$a^2+b^2+2\cdot8=100$

$a^2+b^2+16=100$

$a^2+b^2=100-16$

$a^2+b^2=84$

Portanto, obtemos:

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-8+b^2\right)$

$a^3+b^3=10\ \left(a^2+b^2-8\right)$

$a^3+b^3=10\ \left(84-8\right)$

$a^3+b^3=10\cdot76\ $

$a³+b³=760$

Alternativa D

I. Falsa

Aplicando a propriedade distributiva, o correto seria 8 – 4y.

II. Verdadeira

Foi feita uma nova fatoração. Note que 2a e 6 são múltiplos de 2. Logo, temos que:

$2\left(2a+6\right)=2\cdot2\left(a+3\right)=4\left(a+3\right)$

III. Verdadeira

Esse é o quadrado da soma. Se fatorarmos x² + 2xy + y², encontraremos (x + y)².

Alternativa A

$\frac{3a^2+6ab+3b^2}{3a+3b}$

Realizando a fatoração, temos que:

$\frac{3(a^2+2ab+b^2)}{3\ (a\ +\ b)\ }$

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a\ +\ b\ }$

$\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}$

Assim, a simplificação da expressão é:

$a\ +\ b$

Alternativa B

Esse é um caso de fatoração por agrupamento, já que os termos foram agrupados de dois em dois.

Alternativa D

Esse é um caso do cubo da diferença. Assim, temos:

$27y³=(3y)³$

$8=2³$

$27y^3-8=3y–23y2+2⋅3y+22$

$27y^3-8=\left(3y-2\right)\left(9y^2+6y+4\right)$