Exercícios sobre fórmula de Bhaskara
Quais são as raízes reais da equação x2 – x = 6?
a) Apenas 3
b) 25 e 3
c) 25 e – 2
d) 3 e – 2
e) Apenas – 2
Para resolver esse exercício, basta usar fórmula de Bhaskara. Entretanto, é necessário igualar a equação a zero. Para tanto, basta reescrevê-la com o número 6 no primeiro membro. Observe:
x2 – x = 6
x2 – x – 6 = 0
Agora separe os coeficientes e utilize a fórmula do determinante:
a = 1, b = – 1 e c = – 6
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 1)2 – 4·1·(– 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Por fim, utilize a fórmula de Bhaskara:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – (– 1) ± √25
2·1
x = 1 ± 5
2
x’ = 1 + 5 = 6 = 3
2 2
x’’ = 1 – 5 = – 4 = – 2
2 2
As raízes são 3 e – 2.
Gabarito: letra D.
Um terreno quadrado possui área de 144 metros quadrados e apenas a sua frente ainda não está murada. Quantos metros de muro terão que ser feitos para isolar completamente esse terreno?
a) 144 m
b) 576 m
c) 24 m
d) 18 m
e) 12 m
A área do quadrado é a seguinte:
A = l2
Substituindo a área que conhecemos na fórmula, temos:
144 = l2
l2 – 144 = 0
Separando os coeficientes, descobriremos primeiro o valor do discriminante:
a = 1, b = 0 e c = – 144
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (0)2 – 4·1·(– 144)
Δ = 0 + 576
Δ = 576
Agora usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o lado do quadrado:
l = – b ± √Δ
2·a
l = – (0) ± √576
2·1
l = 0 ± 24
2
l’ = 24 = 12
2
l’’ = – 24 = – 12
2
Como não pode existir um quadrado com lado negativo, consideramos que o lado é igual a 12.
Gabarito: letra E.
(ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante do desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão (t em minutos):
T(t) = – t2 + 400
4
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
e) 39,0
A temperatura em função do tempo precisa chegar a 39 °C. Isso significa que T(t) = 39. Substituindo esse valor na equação, teremos:
T(t) = – t2 + 400
4
39 = – t2 + 400
4
156 = – t2 + 1600
t2 – 1600 + 156 = 0
t2 – 1444 = 0
Agora separamos os coeficientes e usamos a fórmula do determinante:
a = 1, b = 0 e c = – 1444
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (0)2 – 4·1·(– 1444)
Δ = 0 + 5776
Δ = 5776
Para finalizar, utilizamos a fórmula de Bhaskara
t = – b ± √Δ
2·a
t = – (0) ± √5776
2·1
t = 0 ± 76
2
t’ = 0 + 76 = 76 = 38
2 2
t’’ = 0 – 76 = – 76 = – 38
2 2
Como não podemos voltar no tempo, devemos descartar o resultado negativo. Assim, são gastos 38 minutos para que o forno chegue a 39 graus.
Gabarito: letra D.
Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais?
a) 164,35°
b) 23°
c) 1849°
d) 3780°
e) 20°
Para descobrir o número de lados de um polígono do qual sabemos apenas o número de diagonais, usaremos a expressão a seguir:
d = n(n – 3)
2
230 = n(n – 3)
2
230·2 = n(n – 3)
460 = n2 – 3n
n2 – 3n – 460 = 0
Observe que temos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, usaremos a fórmula de Bhaskara. Para tanto, vamos separar os coeficientes e calcular o discriminante:
a = 1, b = – 3 e c = – 460
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 460)
Δ = 9 + 1840
Δ = 1849
Agora vamos calcular o número de lados com a fórmula de Bhaskara:
n = – b ± √Δ
2·a
n = – (– 3) ± √1849
2·1
n = 3 ± 43
2
n’ = 3 + 43 = 46 = 23
2 2
n’’ = 3 – 43 = – 40 = – 20
2 2
Como o resultado não pode ser um número negativo, o polígono em questão apresenta 23 lados.
Agora usaremos o número de lados para descobrir a soma dos ângulos internos desse polígono:
S = (n – 2)·180
S = (23 – 2)·180
S = 21·180
S = 3780
Como o polígono é convexo, basta dividir esse resultado pelo número de lados do polígono, que é igual ao número de ângulos:
3780 = 164,35°
23
Cada ângulo interno do polígono mede, aproximadamente, 164,35°.
Gabarito: letra A.
