Exercícios sobre função exponencial
Um paciente recebe uma injeção de material radioativo com meia-vida de 2 horas. Sabendo que foram aplicados 200 microgramas desse material, depois de 8 horas quanto ainda permanece no corpo do paciente?
A) 100 microgramas
B) 50 microgramas
C) 25 microgramas
D) 12,5 microgramas
E) 6,25 microgramas
Alternativa D
Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:
f(x)=200(12)x, onde x são os períodos de 2 horas.
Como foi pedido o cálculo depois de 8 horas, teremos 4 períodos de 2 horas, levando assim a considerarmos o valor de x=4 .
f(4)=200(12)4=20016=12,5 microgramas
Considere uma função exponencial da expressão f(x)=1000x. Determine o valor de f(0,¯33).
A) 10
B) 240
C) 333
D) 40
E) 33
Alternativa A
Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:
f(x)=1000x
onde x assume valor dado por uma dízima periódica
0,333…=39=13.
Substituindo esse valor, temos
f(13)=100013=3√1000=10.
Sendo as funções g(x)=3x+27 e h(x)=92x+3 dadas no conjunto dos números reais, determine o valor de x que as torna iguais nesse ponto.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
Alternativa B
O exercício nos pediu que as funções fossem iguais em um ponto, logo podemos escrever:
g(x)=h(x)
3x+27=92x+3
3x+27=(32)2x+3
3x+27=34x+6
Resolvendo, temos que:
4x+6=x+27
3x=21
x=7
Na figura abaixo foi destacado o gráfico de duas funções exponenciais f(x) e g(x). Sabendo que f(x) é uma função crescente e g(x) decrescente, analise as alternativas abaixo sobre esse gráfico e marque a alternativa correta.
A) f(1)=3
B) f(2)=1
C) f(1)+g(2)=5
D) f(2)+g(1)=5
E) g(2)>3
Alternativa C
O exercício afirma que a f(x) é crescente, logo o gráfico dessa função é o de cor azul (ascendente), e pela mesma análise concluímos que g(x) é a função de cor vermelha (descendente). De posse desses resultados e com auxílio do gráfico, temos que f(2)>6,f(1)=4, g(1)=3 e g(2)=1.
Analisando os itens, temos:
A) Falso, pois f(1)=4.
B) Falso, pois f (2)>6.
C) Verdadeiro, pois f(1)+g(2)=4+1=4.
D) Falso, pelo próprio item C).
E) Falso, pois g(2)=1.
Sendo f(x)=2x+1 definida no conjunto dos números reais, marque a alternativa que representa o esboço do gráfico dessa função.
A)
B)
C)
D)
E)
Alternativa B
Antes de analisar os itens, observamos que a função exponencial f(x)=2x+1 é crescente.
Com essa informação sabemos que os itens C) e D) são falsos por não serem gráficos de uma função crescente. O item E) é falso por ser gráfico de uma função do segundo grau (parábola).
Agora precisamos de alguns valores da função f(x)=2x+1.
O valor de f(0)=20+1=21=2. Como o gráfico do item A) afirma que f(0)=1, podemos desconsiderar esse item.
Com as conclusões acima, podemos afirmar que o único item possível é o B.
Sendo h(x)=0,5x definida no conjunto dos números reais, faça os cálculos e marque a alternativa correta da expressão h(−1)+h(−2)+h(1)+h(2) .
A) 0
B) 6,75
C) 4,25
D) 2,35
E) 1,75
Alternativa B
Primeiro determinaremos os valores de cada parte dessa expressão.
h(−1)=0,5−1=(12)−1=2
h(−2)=0,5−2=(12)−2=4
h(1)=0,51=0,5
h(2)=0,52=(12)2=14=0,25
Agora que estamos de posse dos resultados podemos efetuar a soma:
h(−1)+h(−2)+h(1)+h(2)=2+4+0,50+0,25=6,75
O número de casos de uma doença infecciosa dobra a cada 3 dias. Se houver 100 casos hoje, quantos casos haverá após 12 dias?
A) 400
B) 800
C) 1200
D) 1400
E) 1600
Alternativa E
Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:
f(x)=100⸳2x
onde x são os períodos de 3 dias. Como foi pedido o cálculo depois de 12 dias, teremos 4 períodos de 3 dias, levando assim a considerarmos o valor de x=4.
f(4)=100(2)4=1600 casos
Um carro novo é comprado por R$ 40.000 e desvaloriza a uma taxa de 15% ao ano. Quanto valerá o carro após 3 anos? Marque a alternativa que possui uma função exponencial modelando a situação descrita.
A) 40.000(0,15)3
B) 40.000(15)3
C) 40.000(0,85)3
D) 40.000(1,15)3
E) 40.000(0,55)3
Alternativa C
Com base nos dados do exercício a modelagem da função é do tipo exponencial, dada por:
f(t)=V(1+i)t
onde V é o valor de compra do carro, t é quantidade de períodos e i é a taxa.
Como é uma desvalorização, temos que i=−15
f(3)=40000(1−0,15)=40000(0,85)
Resolvendo o sistema {4x−y=√22x+2y=3√2, temos que o valor de 36y+18x é:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 54
Alternativa C
Primeiro vamos organizar o sistema de modo a ter a mesma base nos dois lados da igualdade.
{(22)x−y=2122x+2y=213
{(2)2x−2y=2122x+2y=213
Agora podemos reorganizar o sistema nas variáveis x e y, ficando com o seguinte sistema equivalente:
{2x−2y=12x+2 y=13
Resolvendo esse sistema por método de soma, temos de forma direta 3x=12+13=56. Logo temos que x=518. Substituindo em x+2y=13, temos 2y=−518+13=118, a partir de que concluímos que y=136.
Podemos terminar o exercício efetuando a soma 36y+18x=1+5=6
Suponha que uma colônia de bactérias esteja crescendo em um cubo de gelatina cuja aresta é 9 cm. A taxa de crescimento das bactérias é de 200% a cada hora. No início, a colônia ocupa um volume de 1 centímetro cúbico dentro do cubo. O volume da colônia de bactérias aumenta à medida que ela cresce. Quanto tempo levará para que essa colônia ocupe todo o volume desse cubo?
A) 3 horas
B) 6 horas
C) 9 horas
D) 12 horas
E) 15 horas
Alternativa B
A capacidade da gelatina é V=93=729cm3.
Sabendo que a taxa de crescimento é 200%=2, temos que a modelagem da função exponencial é dada por f(t)=1⋅(1+2)t=3t.
Igualando, temos que 3t=729=36, logo t=6 horas.
Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas
E) 3 horas
Alternativa C
De acordo com o enunciado do exercício temos que a modelagem do crescimento de bactérias é dado por uma função exponencial. Agora vamos modelar o crescimento de cada população.
- População de bactérias do tipo A: f(t)=800⸳3t (onde t representa o número de períodos de 3 horas).
- População de bactérias do tipo B:f(t)=2700⸳2t (onde t representa o número de períodos de 3 horas).
Igualando essas duas funções, temos:
800⸳3t=2700⸳2t
8002700=2t3t
827=2t3t
2333=2t3t
(23)3=(23)t
Dessa igualdade concluímos que t=3. Como temos 3 períodos de 3 horas, podemos afirmar que após 9 horas as duas colônias terão a mesma quantidade de indivíduos.
Sendo uma função exponencial definida por f(x+1)=200⋅(a+4)x, determine o valor de a para que a f(2)=400.
A) 2
B) -1
C) 3
D) -2
E) -3
Alternativa D
O enunciado afirma que f(2)=400. Pela modelagem da função f(x+1)=200⋅(a+4)x, concluímos que x=1. Igualando as duas expressões, temos:
200⋅(a+4)1=400
(a+4)=400200
a+4=2
a=−2
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