Exercícios sobre Função Exponencial

Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:

f(x) = g(x)

2 ^{x² – 4} = 4 ^{x² – 2x}

Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:

2 ^{x² – 4} = (2²)^{x² – 2x}

2 ^{x² – 4} = 2^{2(x² – 2x)}

2 ^{x² – 4} = 2^{2x² – 4x}

Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:

x² – 4 = 2x² – 4x

x² – 4x + 4 = 0

Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (– 4)² – 4.1.4

∆ = 16 – 16

∆ = 0

x = – b ± √∆
      2.a

x = – (– 4) ± √0
     2.1

x = 4 ± 0
​     2

x = 2

O exercício pede que encontremos o valor de 2^x, como x = 2, temos que 2^x = 2² = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra d.

Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:

f (x) = g (x)


x = – x

O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:

f(0) = 1

g(0) = 1

As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Substituindo cada valor nas funções, temos:

g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Essa afirmativa é verdadeira.

(08) f [g(0)] = f(1)

Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:

g(0) = 1

Sendo assim:

f [g(0)] = f [1] = f(1)

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(16) f(– 1) + g(1) = 5
                            2

Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma

f(– 1) + g(1) = 5 + 5
                     4   4 
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
​                      4    2 

Essa afirmativa também é verdadeira.

Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.

Para que a função seja crescente, é necessário que o valor da base seja maior do que 1. Faremos então:

3k + 16 > 1
3k > 1 – 16
3k > – 15
3k > – 15
k > – 15
       3
k> – 5

Então a função g(x) = (3k + 16)^x é crescente para k > – 5.

Para facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5 como fração, isto é:

1,5 =  15  =  3 
         10      2

Vamos então calcular f(1,5):

f(1,5) = 49^1.5
f(1,5) = 49^3/2

Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever 49 como 7². Temos então:

f(1,5) = √49³
f(1,5) = √(7²)³
f(1,5) = √7⁶
f(1,5) = √(7³)²
f(1,5) = 7³
f(1,5) = 343

Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.