(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
a) ¼
b) 1
c) 8
d) 4
e) ½
(Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, é correto afirmar:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
(08) f [g(0)] = f(1)
(16) f(– 1) + g(1) = 5
2
Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.
g(x) = (3k + 16)x
Considerando que f(x) = 49x, determine o valor de f(1,5).
Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:
2 x² – 4 = (22)x² – 2x
2 x² – 4 = 22(x² – 2x)
2 x² – 4 = 22x² – 4x
Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:
x² – 4 = 2x² – 4x
x² – 4x + 4 = 0
Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 4)² – 4.1.4
∆ = 16 – 16
∆ = 0
x = – b ± √∆
2.a
x = – (– 4) ± √0
2.1
x = 4 ± 0
2
x = 2
O exercício pede que encontremos o valor de 2x, como x = 2, temos que 2x = 22 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra d.
Voltar a questãoPara resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:
f (x) = g (x)
x = – x
O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:
f(0) = 1
g(0) = 1
As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Substituindo cada valor nas funções, temos:
g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Essa afirmativa é verdadeira.
(08) f [g(0)] = f(1)
Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:
g(0) = 1
Sendo assim:
f [g(0)] = f [1] = f(1)
Portanto, a afirmativa é verdadeira.
(16) f(– 1) + g(1) = 5
2
Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma
f(– 1) + g(1) = 5 + 5
4 4
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
4 2
Essa afirmativa também é verdadeira.
Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.
Voltar a questãoPara que a função seja crescente, é necessário que o valor da base seja maior do que 1. Faremos então:
3k + 16 > 1
3k > 1 – 16
3k > – 15
3k > – 15
k > – 15
3
k> – 5
Então a função g(x) = (3k + 16)x é crescente para k > – 5.
Voltar a questãoPara facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5 como fração, isto é:
1,5 = 15 = 3
10 2
Vamos então calcular f(1,5):
f(1,5) = 491.5
f(1,5) = 493/2
Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever 49 como 72. Temos então:
f(1,5) = √493
f(1,5) = √(72)3
f(1,5) = √76
f(1,5) = √(73)2
f(1,5) = 73
f(1,5) = 343
Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.
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