Exercícios sobre função exponencial

Alternativa D

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)=200\left(\frac{1}{2}\right)^x\), onde x são os períodos de 2 horas.

Como foi pedido o cálculo depois de 8 horas, teremos 4 períodos de 2 horas, levando assim a considerarmos o valor de x=4 .

\(f\left(4\right)=200\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{200}{16}=12,5\ microgramas\) 

Alternativa A

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)={1000}^x\) 

onde x assume valor dado por uma dízima periódica

\(0,333\ldots=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\)

Substituindo esse valor, temos

\(f\left(\frac{1}{3}\right)={1000}^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{1000}=10.\) 

Alternativa B

O exercício nos pediu que as funções fossem iguais em um ponto, logo podemos escrever:

\(g(x)=h(x)\)

\(3^{x+27}=9^{2x+3}\) 

\(3^{x+27}=\left(3^2\right)^{2x+3}\) 

\(3^{x+27}=3^{4x+6}\) 

Resolvendo, temos que:

\(4x+6=x+27\) 

\(3x=21\) 

\(x=7\) 

Alternativa C

O exercício afirma que a f(x) é crescente, logo o gráfico dessa função é o de cor azul (ascendente), e pela mesma análise concluímos que g(x) é a função de cor vermelha (descendente). De posse desses resultados e com auxílio do gráfico, temos que \(f\left(2\right)>6, f\left(1\right)=4, \ g\left(1\right)=3 \ e\ g\left(2\right)=1\).

Analisando os itens, temos:

A) Falso, pois \(f(1)=4\).

B) Falso, pois \(f\ (2)>6\).

C) Verdadeiro, pois \(f\left(1\right)+g\left(2\right)=4+1=4\).

D) Falso, pelo próprio item C).

E) Falso, pois \(g(2)=1\).

Alternativa B

Antes de analisar os itens, observamos que a função exponencial \(f\left(x\right)=2^{x+1}\) é crescente.

Com essa informação sabemos que os itens C) e D) são falsos por não serem gráficos de uma função crescente. O item E) é falso por ser gráfico de uma função do segundo grau (parábola).

Agora precisamos de alguns valores da função \(f\left(x\right)=2^{x+1}\).

O valor de \(f\left(0\right)=2^{0+1}=2^1=2\). Como o gráfico do item A) afirma que \(f\left(0\right)=1\), podemos desconsiderar esse item.

Com as conclusões acima, podemos afirmar que o único item possível é o B.

Alternativa B

Primeiro determinaremos os valores de cada parte dessa expressão.

\(h\left(-1\right)={0,5}^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\) 

\(h\left(-2\right)={0,5}^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\) 

\(h\left(1\right)={0,5}^1=0,5\) 

\(h\left(2\right)={0,5}^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=0,25\) 

Agora que estamos de posse dos resultados podemos efetuar a soma:

\(h\left(-1\right)+h\left(-2\right)+h\left(1\right)+h\left(2\right)=2+4+0,50+0,25=6,75\) 

Alternativa E

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)=100⸳2x\) 

onde x são os períodos de 3 dias. Como foi pedido o cálculo depois de 12 dias, teremos 4 períodos de 3 dias, levando assim a considerarmos o valor de x=4.

\(f\left(4\right)=100\left(2\right)^4=1600\ casos\) 

Alternativa C

Com base nos dados do exercício a modelagem da função é do tipo exponencial, dada por:

\(f\left(t\right)=V\left(1+i\right)^t\) 

onde V é o valor de compra do carro, t é quantidade de períodos e i é a taxa.

Como é uma desvalorização, temos que \(i=-15%=-0,15\)

\(f\left(3\right)=40000\left(1-0,15\right)=40000(0,85)\) 

Alternativa C

Primeiro vamos organizar o sistema de modo a ter a mesma base nos dois lados da igualdade.

\(\left\{{\left(2^2\right)^{x-y}=2^\frac{1}{2}\atop2^{x+2y}=2^\frac{1}{3}}\right.\)

\(\left\{{\left(2\right)^{2x-2y}=2^\frac{1}{2}\atop2^{x+2y}=2^\frac{1}{3}}\right.\)

Agora podemos reorganizar o sistema nas variáveis x e y, ficando com o seguinte sistema equivalente:

\(\begin{cases} 2x-2y=\frac{1}{2}\\ x+2\ y=\frac{1}{3} \end{cases}\)

Resolvendo esse sistema por método de soma, temos de forma direta \(3x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\). Logo temos que \(x=\frac{5}{18}\). Substituindo em \(x+2y=\frac{1}{3}\), temos \(2y=-\frac{5}{18}+\frac{1}{3}=\frac{1}{18}\), a partir de que concluímos que \(y=\frac{1}{36}\).

Podemos terminar o exercício efetuando a soma \(36y+18x=1+5=6\)

Alternativa B

A capacidade da gelatina é \(V=9^3=729{cm}^3\).

Sabendo que a taxa de crescimento é 200%=2, temos que a modelagem da função exponencial é dada por \(f\left(t\right)=1\cdot\left(1+2\right)^t=3^t\).

Igualando, temos que \(3^t=729=3^6\), logo t=6 horas.

Alternativa C

De acordo com o enunciado do exercício temos que a modelagem do crescimento de bactérias é dado por uma função exponencial. Agora vamos modelar o crescimento de cada população.

• População de bactérias do tipo A: \(f\left(t\right)=800⸳3t\) (onde t representa o número de períodos de 3 horas).
• População de bactérias do tipo B:\(f\left(t\right)=2700⸳2t \) (onde t representa o número de períodos de 3 horas).

Igualando essas duas funções, temos:

\(800⸳3t=2700⸳2t\) 

\(\frac{800}{2700}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\frac{8}{27}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\frac{2^3}{3^3}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^t\) 

Dessa igualdade concluímos que t=3. Como temos 3 períodos de 3 horas, podemos afirmar que após 9 horas as duas colônias terão a mesma quantidade de indivíduos.

Alternativa D

O enunciado afirma que \(f\left(2\right)=400\). Pela modelagem da função \(f\left(x+1\right)=200\cdot\left(a+4\right)^x\), concluímos que \(x=1\). Igualando as duas expressões, temos:

\(200\cdot\left(a+4\right)^1=400\) 

\(\left(a+4\right)=\frac{400}{200}\) 

\(a+4=2\) 

\(a=-2\)