Exercícios sobre função inversa
Sendo \(f: R ⟶R\) uma função invertível, tal que \(f(x)=3x-4\), então o valor de \(f^{\left(-1\right)}\ \left(5\right)\) é igual a:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Alternativa A
Primeiramente, encontraremos a função inversa, invertendo f(x) e x:
\(x=3f\left(x\right)-4\)
\(x+4=3f\left(x\right)\)
\(\frac{x+4}{3}=f\left(x\right)\)
\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+4}{3}\)
Agora que encontramos a função inversa, calcularemos f-15:
\(f^{-1}\left(5\right)=\frac{5+4}{3}\)
\(f^{-1}\left(5\right)=\frac{9}{3}\)
\(f^{-1}\left(5\right)=3\)
Dada a função \(f\left(x\right)=2x+1\) , a função inversa de \(f\left(x\right)\) é:
A) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x+1}{2}\)
B) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x-1}{2}\)
C) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=2x-1\)
D) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{2}{x+1}\)
Alternativa B
Calculando a função inversa, temos:
\(x=2f\left(x\right)+1\)
\(x-1=2f\left(x\right)\)
\({f^-}^{1\left(x\right)}=\frac{x-1}{2}\)
Dada a função \(f\left(x\right)=2^{x+2}-3\), a lei de formação da função inversa é:
A) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)+2\)
B) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+1\right)\)
C) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)-2\)
D) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2x –1\)
E) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+2\right)\ \)
Alternativa C
Calculando o inverso, temos:
\(x=2^{f\left(x\right)+2}-3\)
\(x+3=2^{f\left(x\right)\ +\ 2}\)
\(log_2\left(x+3\right)=log_22^{f\left(x\right)+2}\)
\(log_2\left(x+3\right)=f\left(x\right)+2\)
\(log_2\left(x+3\right)-2=f\left(x\right)\)
Então, a função inversa é:
\(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)\ -\ 2\ \)
Considere a função \(f\left(x\right)=2x-5\). O valor de \(f^{-1}\left(f\left(3\right)\right)\) é:
A) 2,0
B) 2,5
C) 3,0
D) 3,5
E) 4,0
Alternativa C
Inicialmente, calcularemos \(f\left(3\right)\):
\(f\left(3\right)=2\cdot3-5\)
\(f\left(3\right)=6-5\)
\(f\left(3\right)=1\)
Em seguida, queremos encontrar o valor de f-11, que é o valor de x tal que fx=1. Assim, temos:
\(f\left(x\right)=2x-5\)
\(1\ =\ 2x\ -\ 5\ \)
\(1\ +\ 5\ =\ 2x\ \)
\(6\ =\ 2x\ \)
\(x=\frac{6}{2}\)
\(x\ =\ 3\)
Sobre a função \(f\left(x\right)=x^2\), com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:
A) essa função é bijetora, logo ela é invertível.
B) essa função é sobrejetora, logo ela é invertível.
C) essa função não é sobrejetora, logo ela não é invertível.
D) essa função não é injetora, logo ela não é invertível.
E) essa função é bijetora, logo ela não é invertível.
Alternativa D
Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Entretanto, com domínio no conjunto dos números reais, essa função não é injetora, pois dado um número n, sabemos que n² = k e que (-n)² = k. Logo, há dois números distintos com a mesma imagem, o que faz com que essa função não seja injetora. Assim, ela não é invertível.
Considere a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2+x},\ \), em que o domínio da função é o conjunto dos números reais maiores que – 2. A função inversa de \(f\left(x\right)\) é:
A) \(f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x-2}\)
B) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2\)
C) \(f^{-1}\left(x\right)=2x^2\)
D) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2-2\)
E) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2+2\)
Alternativa D
Calculando a função inversa, temos:
\(x=\sqrt{2+f\left(x\right)}\)
\(x^2={\sqrt{2+f\left(x\right)}}^2\)
\(x^2=2+f\left(x\right)\)
\(x^2-2=f\left(x\right)\)
Então, a função inversa é:
\(f^{-1}\left(x\right)=x^2-2\)
Se uma função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais maiores que 2 é definida por \(f\left(x\right)=\frac{2}{x-2}\), a lei de formação da função \(f^{-1}\left(x\right)\) será igual a:
A) \(\frac{2}{x+2}\)
B) \(\frac{2}{x}\ -\ 2\)
C) \(\frac{x}{2}-2\)
D) \(x\ +\ 2\ \)
E) \(\ \frac{2}{x}+2\)
Alternativa E
Trocando x por \(f\left(x\right)\) e vice-versa, temos que:
\(x=\frac{2}{f\left(x\right)-2}\)
\(\left(f\left(x\right)-2\right)\cdot x=2\)
\(f\left(x\right)-2=\frac{2}{x}\)
Sendo assim, a lei de formação da função inversa será:
\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2}{x}+2\)
(Seeduc RJ) Considere a função de variável real \(f\left(x\right)\)\(\frac{\left(3x+8\right)}{2}\). Qual o valor de \(f^{-1}\left(10\right)\)?
A) 1 ⁄ 19
B) 6
C) 0,25
D) 4
E) 19
Alternativa D
Se
\(f^{-1}\left(10\right)\) = k,
então
\(f\left(k\right)\) = 10.
Logo, temos que:
\(f\left(k\right)=\frac{3k+8}{2}=10\ \)
\(3k\ +\ 8\ =\ 10\ \cdot2\)
\(3k\ +\ 8\ =\ 20\ \)
\(3k\ =\ 20\ -\ 8\ \)
\(3k\ =\ 12\ \)
\(k=\frac{12}{3}\)
\(k\ =\ 4\)
Sabendo que k = 4, então
\(f^{-1}\left(10\right)=4\)
Dada a função f: A → B, em que A = {0, 1, 2} e B = {2, 3, 6, 8}, com a lei de formação f(x) = x² + 2, podemos afirmar que:
A) a função é invertível, pois ela é bijetora.
B) a função não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.
C) a função não é invertível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.
D) a função não é invertível, pois ela é bijetora.
Alternativa B
Para que a função seja invertível, ela deve ser injetora e sobrejetora. Analisando a função, temos:
-
f(0) = 0² + 2 = 2
-
f(1) = 1² + 2 = 3
-
f(2) = 2² + 2 = 6
Podemos notar que para valores diferentes do domínio, os correspondentes no contradomínio serão sempre diferentes. Assim, essa função é injetora.
Note que 8 está no contradomínio, mas não é imagem de nenhum dos elementos do conjunto A. Dessa forma, essa função não é sobrejetora, então ela não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.
Sendo \(f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)\), o valor de \(f^{\left(-1\right)}\left(3\right)\ \) é:
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Alternativa E
Queremos calcular \(f^{-1}\left(3\right)\). Para isso, calcularemos o inverso da função:
\(f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)\)
\(x=log_2\left(f\left(x\right)+5\right)\)
\(2^x=2^{log_2\left(f\left(x\right)+5\right)}\)
\(2^x=f\left(x\right)+5\)
\(f^{-1}\left(x\right)=2^x-5\)
Agora, substituindo x por 3, temos:
\(f^{-1}\left(3\right)=2^3-5\)
\(f^{-1}\left(3\right)=8-5\)
\(f^{-1}\left(3\right)=3\)
(RFB) A função bijetora dada por \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) possui domínio no conjunto dos números reais, exceto o número 2, ou seja: R – {2}. O conjunto imagem de \(f\left(x\right)\) é o conjunto dos reais menos o número 1, ou seja: R – {1}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de R – {2} em R – {1}. Com isso, a função inversa de f, denotada por \(f^{-1}\), é definida como
A) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1},\) de R – {1} em R – {2}
B) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1},\) de R – {1} em R – {2}
C) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1},\) de R – {2} em R – {1}
D) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},\) de R – {1} em R – {2}
E) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},\) de R – {2} em R – {1}
Alternativa A
Se a função tinha como domínio o conjunto R – {2} e como imagem o conjunto R – {1}, sua função inversa terá o domínio em R – {1} e a imagem em R – {2}.
Calculando o inverso, temos:
\(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\)
\(x=\frac{f\left(x\right)+1}{f\left(x\right)-2}\)
\(x\left(f\left(x\right)-2\right)=f\left(x\right)+1\)
\(xf\left(x\right)-2x=f\left(x\right)+1\)
\(xf\left(x\right)\ -\ f\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 1\ \)
\(f\left(x\right)\left(x-1\right)=2x+1\)
\(f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1}\)
Logo, a função será:
\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1},\) de R – {1} em R – {2}
(UFPA) O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos pontos (2, 0) e (0, -3).
O valor de f (f -1(0)) é
A) \(\frac{15}{2}\)
B) 0
C) \(\frac{-10}{3}\)
D) \(\frac{10}{3}\)
E) \(\frac{-5}{2}\)
Alternativa B
Sabemos que
\(f\left(2\right)=0,\)
então
\(f^{-1}\left(0\right)=2.\)
Logo, temos:
\(f\left(f^{-1}\left(0\right)\right)=f\left(2\right)\)
Considerando \(f\left(2\right):\)
\(f\left(f^{-1}\left(0\right)\right)\ =\ 0\)
