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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre função inversa

Exercícios sobre função inversa

Esta lista de exercícios sobre função inversa com questões sobre valor numérico, domínio e lei de formação te auxiliará nos seus estudos sobre o tema. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

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Questão 1

Sendo $f: R ⟶R$ uma função invertível, tal que $f(x)=3x-4$ , então o valor de $f^{\left(-1\right)}\ \left(5\right)$ é igual a:

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 9

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Resposta

Alternativa A

Primeiramente, encontraremos a função inversa, invertendo f(x) e x:

$x=3f\left(x\right)-4$

$x+4=3f\left(x\right)$

$\frac{x+4}{3}=f\left(x\right)$

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+4}{3}$

Agora que encontramos a função inversa, calcularemos f-15:

$f^{-1}\left(5\right)=\frac{5+4}{3}$

$f^{-1}\left(5\right)=\frac{9}{3}$

$f^{-1}\left(5\right)=3$

Questão 2

Dada a função $f\left(x\right)=2x+1$ , a função inversa de $f\left(x\right)$ é:

A) $f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x+1}{2}$

B) $f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x-1}{2}$

C) $f^{-^{1\left(x\right)}}=2x-1$

D) $f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{2}{x+1}$

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Resposta

Alternativa B

Calculando a função inversa, temos:

$x=2f\left(x\right)+1$

$x-1=2f\left(x\right)$

${f^-}^{1\left(x\right)}=\frac{x-1}{2}$

Questão 3

Dada a função $f\left(x\right)=2^{x+2}-3$ , a lei de formação da função inversa é:

A) $f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)+2$

B) $f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+1\right)$

C) $f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)-2$

D) $f^{-1}\left(x\right)=log_2x –1$

E) $f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+2\right)\$

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Resposta

Alternativa C

Calculando o inverso, temos:

$x=2^{f\left(x\right)+2}-3$

$x+3=2^{f\left(x\right)\ +\ 2}$

$log_2\left(x+3\right)=log_22^{f\left(x\right)+2}$

$log_2\left(x+3\right)=f\left(x\right)+2$

$log_2\left(x+3\right)-2=f\left(x\right)$

Então, a função inversa é:

$f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)\ -\ 2\$

Questão 4

Considere a função $f\left(x\right)=2x-5$ . O valor de $f^{-1}\left(f\left(3\right)\right)$ é:

A) 2,0

B) 2,5

C) 3,0

D) 3,5

E) 4,0

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Resposta

Alternativa C

Inicialmente, calcularemos $f\left(3\right)$ :

$f\left(3\right)=2\cdot3-5$

$f\left(3\right)=6-5$

$f\left(3\right)=1$

Em seguida, queremos encontrar o valor de f-11, que é o valor de x tal que fx=1. Assim, temos:

$f\left(x\right)=2x-5$

$1\ =\ 2x\ -\ 5\$

$1\ +\ 5\ =\ 2x\$

$6\ =\ 2x\$

$x=\frac{6}{2}$

$x\ =\ 3$

Questão 5

Sobre a função $f\left(x\right)=x^2$ , com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) essa função é bijetora, logo ela é invertível.

B) essa função é sobrejetora, logo ela é invertível.

C) essa função não é sobrejetora, logo ela não é invertível.

D) essa função não é injetora, logo ela não é invertível.

E) essa função é bijetora, logo ela não é invertível.

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Resposta

Alternativa D

Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Entretanto, com domínio no conjunto dos números reais, essa função não é injetora, pois dado um número n, sabemos que n² = k e que (-n)² = k. Logo, há dois números distintos com a mesma imagem, o que faz com que essa função não seja injetora. Assim, ela não é invertível.

Questão 6

Considere a função $f\left(x\right)=\sqrt{2+x},\$ , em que o domínio da função é o conjunto dos números reais maiores que – 2. A função inversa de $f\left(x\right)$ é:

A) $f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x-2}$

B) $f^{-1}\left(x\right)=x^2$

C) $f^{-1}\left(x\right)=2x^2$

D) $f^{-1}\left(x\right)=x^2-2$

E) $f^{-1}\left(x\right)=x^2+2$

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Resposta

Alternativa D

Calculando a função inversa, temos:

$x=\sqrt{2+f\left(x\right)}$

$x^2={\sqrt{2+f\left(x\right)}}^2$

$x^2=2+f\left(x\right)$

$x^2-2=f\left(x\right)$

Então, a função inversa é:

$f^{-1}\left(x\right)=x^2-2$

Questão 7

Se uma função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais maiores que 2 é definida por $f\left(x\right)=\frac{2}{x-2}$ , a lei de formação da função $f^{-1}\left(x\right)$ será igual a:

A) $\frac{2}{x+2}$

B) $\frac{2}{x}\ -\ 2$

C) $\frac{x}{2}-2$

D) $x\ +\ 2\$

E) $\ \frac{2}{x}+2$

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Resposta

Alternativa E

Trocando x por $f\left(x\right)$ e vice-versa, temos que:

$x=\frac{2}{f\left(x\right)-2}$

$\left(f\left(x\right)-2\right)\cdot x=2$

$f\left(x\right)-2=\frac{2}{x}$

Sendo assim, a lei de formação da função inversa será:

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{2}{x}+2$

Questão 8

(Seeduc RJ) Considere a função de variável real $f\left(x\right)$ $\frac{\left(3x+8\right)}{2}$ . Qual o valor de $f^{-1}\left(10\right)$ ?

A) 1 ⁄ 19

B) 6

C) 0,25

D) 4

E) 19

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Resposta

Alternativa D

$f^{-1}\left(10\right)$ = k,

então

$f\left(k\right)$ = 10.

Logo, temos que:

$f\left(k\right)=\frac{3k+8}{2}=10\$

$3k\ +\ 8\ =\ 10\ \cdot2$

$3k\ +\ 8\ =\ 20\$

$3k\ =\ 20\ -\ 8\$

$3k\ =\ 12\$

$k=\frac{12}{3}$

$k\ =\ 4$

Sabendo que k = 4, então

$f^{-1}\left(10\right)=4$

Questão 9

Dada a função f: A → B, em que A = {0, 1, 2} e B = {2, 3, 6, 8}, com a lei de formação f(x) = x² + 2, podemos afirmar que:

A) a função é invertível, pois ela é bijetora.

B) a função não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

C) a função não é invertível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.

D) a função não é invertível, pois ela é bijetora.

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Resposta

Alternativa B

Para que a função seja invertível, ela deve ser injetora e sobrejetora. Analisando a função, temos:

f(0) = 0² + 2 = 2
f(1) = 1² + 2 = 3
f(2) = 2² + 2 = 6

Podemos notar que para valores diferentes do domínio, os correspondentes no contradomínio serão sempre diferentes. Assim, essa função é injetora.

Note que 8 está no contradomínio, mas não é imagem de nenhum dos elementos do conjunto A. Dessa forma, essa função não é sobrejetora, então ela não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

Questão 10

Sendo $f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)$ , o valor de $f^{\left(-1\right)}\left(3\right)\$ é:

A) – 1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

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Resposta

Alternativa E

Queremos calcular $f^{-1}\left(3\right)$ . Para isso, calcularemos o inverso da função:

$f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)$

$x=log_2\left(f\left(x\right)+5\right)$

$2^x=2^{log_2\left(f\left(x\right)+5\right)}$

$2^x=f\left(x\right)+5$

$f^{-1}\left(x\right)=2^x-5$

Agora, substituindo x por 3, temos:

$f^{-1}\left(3\right)=2^3-5$

$f^{-1}\left(3\right)=8-5$

$f^{-1}\left(3\right)=3$

Questão 11

(RFB) A função bijetora dada por $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}$ possui domínio no conjunto dos números reais, exceto o número 2, ou seja: R – {2}. O conjunto imagem de $f\left(x\right)$ é o conjunto dos reais menos o número 1, ou seja: R – {1}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de R – {2} em R – {1}. Com isso, a função inversa de f, denotada por $f^{-1}$ , é definida como

A) $f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1},$ de R – {1} em R – {2}

B) $f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1},$ de R – {1} em R – {2}

C) $f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1},$ de R – {2} em R – {1}

D) $f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},$ de R – {1} em R – {2}

E) $f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},$ de R – {2} em R – {1}

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Resposta

Alternativa A

Se a função tinha como domínio o conjunto R – {2} e como imagem o conjunto R – {1}, sua função inversa terá o domínio em R – {1} e a imagem em R – {2}.

Calculando o inverso, temos:

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}$