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Exercícios sobre função inversa

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios sobre função inversa com questões sobre valor numérico, domínio e lei de formação te auxiliará nos seus estudos sobre o tema. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Sendo \(f: R ⟶R\) uma função invertível, tal que \(f(x)=3x-4\), então o valor de \(f^{\left(-1\right)}\ \left(5\right)\) é igual a:

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 9

questão 2

Dada a função \(f\left(x\right)=2x+1\) , a função inversa de \(f\left(x\right)\) é:

A) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x+1}{2}\)

B) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{x-1}{2}\)

C) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=2x-1\)

D) \(f^{-^{1\left(x\right)}}=\frac{2}{x+1}\)

questão 3

Dada a função \(f\left(x\right)=2^{x+2}-3\), a lei de formação da função inversa é:

A) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)+2\)

B) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+1\right)\)

C) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)-2\)

D) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2x –1\)

E) \(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+2\right)\ \)

questão 4

Considere a função \(f\left(x\right)=2x-5\). O valor de \(f^{-1}\left(f\left(3\right)\right)\) é:

A) 2,0

B) 2,5

C) 3,0

D) 3,5

E) 4,0

questão 5

Sobre a função \(f\left(x\right)=x^2\), com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) essa função é bijetora, logo ela é invertível.

B) essa função é sobrejetora, logo ela é invertível.

C) essa função não é sobrejetora, logo ela não é invertível.

D) essa função não é injetora, logo ela não é invertível.

E) essa função é bijetora, logo ela não é invertível.

questão 6

Considere a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2+x},\ \), em que o domínio da função é o conjunto dos números reais maiores que – 2. A função inversa de \(f\left(x\right)\) é:

A) \(f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x-2}\)

B) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2\)

C) \(f^{-1}\left(x\right)=2x^2\)

D) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2-2\)

E) \(f^{-1}\left(x\right)=x^2+2\)

questão 7

Se uma função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais maiores que 2 é definida por \(f\left(x\right)=\frac{2}{x-2}\), a lei de formação da função \(f^{-1}\left(x\right)\) será igual a:

A) \(\frac{2}{x+2}\)

B) \(\frac{2}{x}\ -\ 2\)

C) \(\frac{x}{2}-2\)

D) \(x\ +\ 2\ \)

E)\(\ \frac{2}{x}+2\)

questão 8

(Seeduc RJ) Considere a função de variável real \(f\left(x\right)\)\(\frac{\left(3x+8\right)}{2}\). Qual o valor de \(f^{-1}\left(10\right)\)?

A) 1 ⁄ 19

B) 6

C) 0,25

D) 4

E) 19

questão 9

Dada a função f: A → B, em que A = {0, 1, 2} e B = {2,  3, 6, 8}, com a lei de formação f(x) = x² + 2, podemos afirmar que:

A) a função é invertível, pois ela é bijetora.

B) a função não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

C) a função não é invertível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.

D) a função não é invertível, pois ela é bijetora.

questão 10

Sendo \(f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)\), o valor de \(f^{\left(-1\right)}\left(3\right)\ \)é:

A) – 1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

questão 11

(RFB) A função bijetora dada por \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) possui domínio no conjunto dos números reais, exceto o número 2, ou seja: R – {2}. O conjunto imagem de \(f\left(x\right)\) é o conjunto dos reais menos o número 1, ou seja: R – {1}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de R – {2} em R – {1}. Com isso, a função inversa de f, denotada por \(f^{-1}\), é definida como

A) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1},\) de R – {1} em R – {2}

B) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+1},\) de R – {1} em R – {2}

C) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1},\) de R – {2} em R – {1}

D) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},\) de R – {1} em R – {2}

E) \(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1},\) de R – {2} em R – {1}

questão 12

(UFPA) O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos pontos (2, 0) e (0, -3).

O valor de f (f -1(0)) é

A) \(\frac{15}{2}\)

B) 0

C) \(\frac{-10}{3}\)

D) \(\frac{10}{3}\)

E) \(\frac{-5}{2}\)

respostas
Questão 1

Alternativa A

Primeiramente, encontraremos a função inversa, invertendo f(x) e x:

\(x=3f\left(x\right)-4\)

\(x+4=3f\left(x\right)\)

\(\frac{x+4}{3}=f\left(x\right)\)

\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+4}{3}\)

Agora que encontramos a função inversa, calcularemos f-15:

\(f^{-1}\left(5\right)=\frac{5+4}{3}\)

\(f^{-1}\left(5\right)=\frac{9}{3}\)

\(f^{-1}\left(5\right)=3\)

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Questão 2

Alternativa B

Calculando a função inversa, temos:

\(x=2f\left(x\right)+1\)

\(x-1=2f\left(x\right)\)

\({f^-}^{1\left(x\right)}=\frac{x-1}{2}\)

 

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Questão 3

Alternativa C

Calculando o inverso, temos:

\(x=2^{f\left(x\right)+2}-3\)

\(x+3=2^{f\left(x\right)\ +\ 2}\)

\(log_2\left(x+3\right)=log_22^{f\left(x\right)+2}\)

\(log_2\left(x+3\right)=f\left(x\right)+2\)

\(log_2\left(x+3\right)-2=f\left(x\right)\)

Então, a função inversa é:

\(f^{-1}\left(x\right)=log_2\left(x+3\right)\ -\ 2\ \)

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Questão 4

Alternativa C

Inicialmente, calcularemos \(f\left(3\right)\):

\(f\left(3\right)=2\cdot3-5\)

\(f\left(3\right)=6-5\)

\(f\left(3\right)=1\)

Em seguida, queremos encontrar o valor de f-11, que é o valor de x tal que fx=1. Assim, temos:

\(f\left(x\right)=2x-5\)

\(1\ =\ 2x\ -\ 5\ \)

\(1\ +\ 5\ =\ 2x\ \)

\(6\ =\ 2x\ \)

\(x=\frac{6}{2}\)

\(x\ =\ 3\)

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Questão 5

Alternativa D

Uma função é invertível se ela for bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Entretanto, com domínio no conjunto dos números reais, essa função não é injetora, pois dado um número n, sabemos que n² = k e que (-n)² = k. Logo, há dois números distintos com a mesma imagem, o que faz com que essa função não seja injetora. Assim, ela não é invertível.

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Questão 6

Alternativa D

Calculando a função inversa, temos:

\(x=\sqrt{2+f\left(x\right)}\)

\(x^2={\sqrt{2+f\left(x\right)}}^2\)

\(x^2=2+f\left(x\right)\)

\(x^2-2=f\left(x\right)\)

Então, a função inversa é:

\(f^{-1}\left(x\right)=x^2-2\)

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Questão 7

Alternativa E

Trocando x por \(f\left(x\right)\) e vice-versa, temos que:

\(x=\frac{2}{f\left(x\right)-2}\)

\(\left(f\left(x\right)-2\right)\cdot x=2\)

\(f\left(x\right)-2=\frac{2}{x}\)

Sendo assim, a lei de formação da função inversa será:

\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2}{x}+2\)

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Questão 8

Alternativa D

Se

\(f^{-1}\left(10\right)\) = k,

então

\(f\left(k\right)\) = 10.

Logo, temos que:

\(f\left(k\right)=\frac{3k+8}{2}=10\ \)

\(3k\ +\ 8\ =\ 10\ \cdot2\)

\(3k\ +\ 8\ =\ 20\ \)

\(3k\ =\ 20\ -\ 8\ \)

\(3k\ =\ 12\ \)

\(k=\frac{12}{3}\)

\(k\ =\ 4\)

Sabendo que k = 4, então

\(f^{-1}\left(10\right)=4\)

 

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Questão 9

Alternativa B

Para que a função seja invertível, ela deve ser injetora e sobrejetora. Analisando a função, temos:

  • f(0) = 0² + 2 = 2

  • f(1) = 1² + 2 = 3

  • f(2) = 2² + 2 = 6

Podemos notar que para valores diferentes do domínio, os correspondentes no contradomínio serão sempre diferentes. Assim, essa função é injetora.

Note que 8 está no contradomínio, mas não é imagem de nenhum dos elementos do conjunto A. Dessa forma, essa função não é sobrejetora, então ela não é invertível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

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Questão 10

Alternativa E

Queremos calcular \(f^{-1}\left(3\right)\). Para isso, calcularemos o inverso da função:

\(f\left(x\right)=log_2\left(x+5\right)\)

\(x=log_2\left(f\left(x\right)+5\right)\)

\(2^x=2^{log_2\left(f\left(x\right)+5\right)}\)

\(2^x=f\left(x\right)+5\)

\(f^{-1}\left(x\right)=2^x-5\)

Agora, substituindo x por 3, temos:

\(f^{-1}\left(3\right)=2^3-5\)

\(f^{-1}\left(3\right)=8-5\)

\(f^{-1}\left(3\right)=3\)

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Questão 11

Alternativa A

Se a função tinha como domínio o conjunto R – {2} e como imagem o conjunto R – {1}, sua função inversa terá o domínio em R – {1} e a imagem em R – {2}.

Calculando o inverso, temos:

\(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\)

\(x=\frac{f\left(x\right)+1}{f\left(x\right)-2}\)

\(x\left(f\left(x\right)-2\right)=f\left(x\right)+1\)

\(xf\left(x\right)-2x=f\left(x\right)+1\)

\(xf\left(x\right)\ -\ f\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 1\ \)

\(f\left(x\right)\left(x-1\right)=2x+1\)

\(f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1}\)

Logo, a função será:

\(f^{-1}\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-1},\) de R – {1} em R – {2}

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Questão 12

Alternativa B

Sabemos que

\(f\left(2\right)=0,\)

então

\(f^{-1}\left(0\right)=2.\)

Logo, temos:

\(f\left(f^{-1}\left(0\right)\right)=f\left(2\right)\)

Considerando \(f\left(2\right):\)

\(f\left(f^{-1}\left(0\right)\right)\ =\ 0\)

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