Exercícios sobre Geratriz de uma Dízima Periódica

Há duas opções de resolução para esse exercício: a primeira é encontrar a fração geratriz de cada dízima periódica e resolver a expressão utilizando as frações. A segunda opção é encontrar a fração geratriz do resultado da expressão. Para realizarmos menos cálculos, optaremos pela segunda opção, mas vale lembrar que chegaríamos ao mesmo resultado se optássemos pela primeira sugestão. Vamos então realizar a soma inicial através do algoritmo da adição, lembrando que é necessário colocar “vírgula embaixo de vírgula”:

0,66666666...
+0,25252525...
0,91919191...

Desse resultado, vamos subtrair 0,7777777...

0,91919191...
– 0,777777777...
0,14141414...

Vamos agora encontrar a fração geratriz de 0,14141414...

x = 0,14141414...

Multiplicando ambos os lados da equação por 100, temos:

100.x = 14,141414...

Vamos então subtrair dessa equação sua antecedente:

Portanto, a equação tem como resultado a fração 14/99.

Vamos primeiramente encontrar a fração geratriz de x:

x = 0,22222...

Devemos agora multiplicar ambos os lados da equação por 10:

10 . x = 2,22222...

Subtraindo dessa equação a anterior, teremos:

Vamos encontrar a fração geratriz de y:

y = 2,595959595...

Multiplicando ambos os lados da equação por 100:

100 . y = 259,5959595...

Subtraindo dessa equação a anterior, o resultado será:

Vamos agora calcular o produto de x.y:

x.y = 2 . 257 = 514
         9    99    891

Encontramos o produto de x.y, precisamos então calcular a soma dos algarismos do numerador dessa fração, portanto, 5 + 1 + 4 = 10. 

Vamos encontrar a fração geratriz dos dois números decimais do exercício. Para o número 1,3333..., temos:

x = 1,3333...

Multiplicando ambos os lados da equação por 10:

10x = 13,3333...

Vamos agora subtrair a equação anterior da última, da seguinte forma:

Simplificando o numerador e o denominador por 3:

x = 4
      3

Vamos fazer o mesmo processo para 0,166666...

x = 0,16666...

Multiplicando ambos os lados da equação por 10, e novamente por 10:

10x = 1,6666...
100x = 16,6666...

Subtraindo a última equação da equação anterior, o resultado será o seguinte sistema:

Simplificando a fração final por 15:

x = 1
      6

Agora, em vez de realizarmos a soma de números decimais, faremos a soma das frações geratrizes:

1,3333... + 0,16666... = 4 + 1 = 2.4 +1.1 = 9 = 3
                                   3    6          6         6   2

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Para resolver a expressão, é necessário que antes escrevamos a dízima periódica como sua fração geratriz:

x = 0,1212...
100x = 12,1212...

Subtrai-se essa equação da anterior:

Agora se substitui o valor encontrado na expressão:

As propriedades operatórias de fração são aplicadas:

Aplica-se o mínimo múltiplo comum no numerador e no denominador da fração maior:

=  =  =  =  = 

Após sucessivas simplificações, o resultado da expressão é ³³/₃₇, alternativa C.