Exercícios sobre raízes da função de segundo grau
Para uma experiência de sua escola, um rapaz realiza o lançamento de um peso, que tem seu movimento descrito pela função h(x) = – 2x2 + 50, na qual h(x) é a altura do peso e x sua distância em relação ao rapaz, dada em metros. A que distância do ponto onde foi lançado o peso caiu?
a) 5 metros
b) – 5 metros
c) 10 metros
d) 15 metros
e) 9 metros
Alternativa C
Para esse tipo de exercício, podemos supor que o solo e o eixo x do plano cartesiano coincidem. Essa suposição garante que h(x) = 0 na altura do solo. Assim, o ponto de lançamento e o ponto onde o peso caiu são os pontos de encontro do gráfico da função com o eixo x, ou seja, são suas raízes. Assim, basta calcular as raízes da função e a distância entre elas para se determinar a distância entre o ponto de lançamento e o lugar onde o peso caiu.
h(x) = – 2x2 + 50
0 = – 2x2 + 50
2x2 = 50
x2 = 50
2
x2 = 25
x = ± √25
x = ± 5
Sabendo que as raízes são 5 e – 5, podemos calcular a distância entre elas:
5 – (– 5) = 5 + 5 = 10
Então, a distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do peso é de 10 metros.
A função f(x) = x2 + 8x – 9 é do segundo grau, porque o grau do maior dos monômios que compõe sua regra é 2. Além disso, essa função está escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo disso, qual é a soma das raízes da função apresentada acima?
a) 8
b) – 8
c) 1
d) – 9
e) 10
Alternativa B
Para se encontrarem as raízes de uma função do segundo grau, existem diversas técnicas. A mais conhecida delas é a fórmula de Bháskara, que será usada a seguir:
a = 1, b = 8 e c = – 9
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = 82 – 4·1·(– 9)
Δ = 64 + 36
Δ = 100
x = – b ± √Δ
2a
x = – 8 ± √100
2·1
x = – 8 ± 10
2
x1 = – 8 + 10 = 2 = 1
2 2
x2 = – 8 – 10 = –18 = – 9
2 2
A soma das raízes é: 1 + (– 9) = – 8
Quais são as raízes da função: f(x) = 2(x – 4)(x + 4)?
a) 0
b) 1 e – 1
c) 2 e – 2
d) 3 e – 3
e) 4 e – 4
Alternativa E
A forma mais usada para resolver esse tipo de exercício é a fórmula de Bháskara. Contudo, usaremos aqui um método baseado nos conhecimentos a respeito das equações incompletas do segundo grau para resolvê-la a fim de mostrar outras alternativas de solução e para simplificar os cálculos, que seriam muito maiores através dessa fórmula.
f(x) = 2(x – 4)(x + 4)
0 = 2(x – 4)(x + 4)
0 = 2(x2 – 16)
0 = 2x2 – 32
32 = 2x2
32 = x2
2
16 = x2
x2 = 16
x = ± √16
x = ± 4
Logo, as raízes da função são 4 e – 4.
A função f(x) = – 3x2 + 12x – 9 é uma função do segundo grau. Das alternativas abaixo, qual é a que resulta da diferença entre as duas raízes da função?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Alternativa A
Para encontrar as raízes da função f(x) = – 3x2 + 12x – 9, usaremos a fórmula de Bháskara:
f(x) = – 3x2 + 12x – 9
0 = – 3x2 + 12x – 9
a = – 3, b = 12 e c = – 9
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = 122 – 4·(– 3)·(– 9)
Δ = 144 – 108
Δ = 36
x = – b ± √Δ
2a
x = – 12 ± √36
2·(– 3)
x = – 12 ± 6
– 6
x1 = – 12 + 6 = – 6 = 1
– 6 – 6
x2 = – 12 – 6 = –18 = 3
– 6 – 6
A diferença entre as raízes é 3 – 1 = 2. Note que 1 – 3 = – 2 também é a diferença entre as raízes, mas esse resultado não está entre as alternativas da questão.
