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Exercícios sobre raízes da função de segundo grau

Exercícios de Matemática

Teste seus conhecimentos com estes exercícios sobre raízes da função do segundo grau e veja se aprendeu as técnicas que podem ser usadas na resolução das questões. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

Para uma experiência de sua escola, um rapaz realiza o lançamento de um peso, que tem seu movimento descrito pela função h(x) = – 2x2 + 50, na qual h(x) é a altura do peso e x sua distância em relação ao rapaz, dada em metros. A que distância do ponto onde foi lançado o peso caiu?

a) 5 metros

b) – 5 metros

c) 10 metros

d) 15 metros

e) 9 metros

questão 2

A função f(x) = x2 + 8x – 9 é do segundo grau, porque o grau do maior dos monômios que compõe sua regra é 2. Além disso, essa função está escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo disso, qual é a soma das raízes da função apresentada acima?

a) 8

b) – 8

c) 1

d) – 9

e) 10

questão 3

Quais são as raízes da função: f(x) = 2(x – 4)(x + 4)?

a) 0

b) 1 e – 1

c) 2 e – 2

d) 3 e – 3

e) 4 e – 4

questão 4

A função f(x) = – 3x2 + 12x – 9 é uma função do segundo grau. Das alternativas abaixo, qual é a que resulta da diferença entre as duas raízes da função?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

respostas
Questão 1

Alternativa C

Para esse tipo de exercício, podemos supor que o solo e o eixo x do plano cartesiano coincidem. Essa suposição garante que h(x) = 0 na altura do solo. Assim, o ponto de lançamento e o ponto onde o peso caiu são os pontos de encontro do gráfico da função com o eixo x, ou seja, são suas raízes. Assim, basta calcular as raízes da função e a distância entre elas para se determinar a distância entre o ponto de lançamento e o lugar onde o peso caiu.

h(x) = – 2x2 + 50

0 = – 2x2 + 50

2x2 = 50

x2 50 
       2

x2 = 25

x = ± √25

x = ± 5

Sabendo que as raízes são 5 e – 5, podemos calcular a distância entre elas:

5 – (– 5) = 5 + 5 = 10

Então, a distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do peso é de 10 metros.

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Questão 2

Alternativa B

Para se encontrarem as raízes de uma função do segundo grau, existem diversas técnicas. A mais conhecida delas é a fórmula de Bháskara, que será usada a seguir:

a = 1, b = 8 e c = – 9
 

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = 82 – 4·1·(– 9)

Δ = 64 + 36

Δ = 100
 

x = – b ± √Δ
      2a

x = – 8 ± √100
      2·1

x = – 8 ± 10 
      2

             x1 = – 8 + 10  2  = 1
                     2          2

                  x2 = – 8 – 10  = –18  = – 9
                      2             2 

 

A soma das raízes é: 1 + (– 9) = – 8

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Questão 3

Alternativa E

A forma mais usada para resolver esse tipo de exercício é a fórmula de Bháskara. Contudo, usaremos aqui um método baseado nos conhecimentos a respeito das equações incompletas do segundo grau para resolvê-la a fim de mostrar outras alternativas de solução e para simplificar os cálculos, que seriam muito maiores através dessa fórmula.

f(x) = 2(x – 4)(x + 4)

0 = 2(x – 4)(x + 4)

0 = 2(x2 – 16)

0 = 2x2 – 32

32 = 2x2

 32  = x2
2        

16 = x2

x2 = 16

x = ± √16

x = ± 4

Logo, as raízes da função são 4 e – 4.

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Questão 4

Alternativa A

Para encontrar as raízes da função f(x) = – 3x2 + 12x – 9, usaremos a fórmula de Bháskara:

f(x) = – 3x2 + 12x – 9

0 = – 3x2 + 12x – 9

a = – 3, b = 12 e c = – 9
 

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = 122 – 4·(– 3)·(– 9)

Δ = 144 – 108

Δ = 36
 

x = – b ± √Δ
       2a

x = – 12 ± √36
        2·(– 3)

  x = – 12 ± 6 
         – 6 

     x1 = – 12 + 6 = – 6  = 1
            – 6       – 6 

       x2 = – 12 – 6  = –18  = 3 
            – 6        – 6

A diferença entre as raízes é 3 – 1 = 2. Note que 1 – 3 = – 2 também é a diferença entre as raízes, mas esse resultado não está entre as alternativas da questão.

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