Exercícios sobre hexágono
Qual é o número de diagonais de um hexágono?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Alternativa C
Para encontrar o número de diagonais de um hexágono, utilizamos a fórmula:
\(d=\ \frac{n\cdot\left(n-3\right)}{2}\)
Como o número de lados é 6, temos que:
\(d=\frac{6\left(6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Qual é a área, em cm², de um hexágono regular que possui lados medindo \(2\sqrt3\)cm?
A) \(2\sqrt3\)
B) \(9\sqrt3\)
C) \(18\)
D) \(18\sqrt3\)
E) \(36\sqrt3\)
Alternativa D
Calculando a área do hexágono:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=\frac{3\cdot\left(2\sqrt3\right)^2\cdot\sqrt3}{2}\)
\(A=\frac{3\cdot4\cdot3\cdot\sqrt3}{2}\)
\(A=\frac{36\sqrt3}{2}\)
\(A=18\sqrt3\)
A medida do apótema de um hexágono regular, com lados medindo \(10\sqrt3\) cm, é igual a:
A) 12 cm
B) 15 cm
C) 16 cm
D) 17 cm
E) 20 cm
Alternativa B
Para calcular o apótema h do hexágono regular, utilizamos a fórmula: \(h=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Então temos que:
\(h=\frac{10\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}\)
\(h=5\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3\)
\(h=5\cdot3\)
\(h=15\ cm\)
Na reforma de uma praça, a prefeitura decidiu construir mesas com faces formadas por hexágonos. Para que a mesa seja considerada um hexágono regular, é necessário que a medida de cada ângulo interno seja igual a:
A) 120
B) 240
C) 360
D) 480
E) 720
Alternativa A
Primeiro calcularemos a medida das somas dos ângulos internos de um hexágono:
\(S_i=\left(n-2\right)\cdot180\)
\(S_i=\left(6-2\right)\cdot180\)
\(S_i=4\cdot180\)
\(S_i=720\)
O hexágono regular possui todos os ângulos com a mesma medida, então, dividindo 720 por 6, encontramos a medida de cada ângulo:
720 : 6 = 120°
(USP) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
A) 1600 m2
B) 1800 m2
C) 2000 m2
D) 2200 m²
E) 2400 m2
Alternativa A
Sabemos que a distância de um lado até o outro do hexágono é igual a 25, logo, a medida do apótema h desse hexágono é a metade de 25, ou seja, 12,5. Então temos que:
\(h=\frac{l\sqrt3}{2}\)
\(12,5=\frac{l\sqrt3}{2}\)
\(12,5\cdot2=l\sqrt3\)
\(25=l\sqrt3\)
\(l=\frac{25}{\sqrt3}\)
Agora podemos calcular a área do hexágono:
\(A=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{\left(\frac{25}{\sqrt3}\right)^2\cdot\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{\frac{625}{3}\cdot\sqrt3}{2}\)
\(A=\frac{625\sqrt3}{2}\)
\(A\approx531,25\)
Como há 3 hexágonos, então, multiplicando a área por 3:
\(A=3\cdot531,25=1593,75\)
A área da piscina é de aproximadamente 1600 m².
Um terreno de 255 m² será cercado com arame. Para saber a quantidade necessária de arame, é necessário calcular o perímetro desse terreno. Sabendo que ele possui formato de um hexágono regular e utilizando \(\sqrt3=1,7\), a medida do perímetro desse terreno é igual a:
A) \(\sqrt3\)
B) \(6\)
C) \(10\)
D) \(6\sqrt{10}\)
E) \(10\sqrt6\)
Alternativa D
Sabemos que a área A é igual a 255, então temos que:
\(A=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)
\(255=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)
\(255\cdot2=3l^2\sqrt3\)
\(\frac{510}{3}=l^2\sqrt3\)
\(170=l^2\sqrt3\)
Como \(\sqrt3 = 1,7\):
\(170=l^2\cdot1,7\)
\(\frac{170}{17}=l^2\)
\(l^2=10\)
\(l=\sqrt{10}\)
Como ele possui 6 lados congruentes:
\(P = 6\sqrt{10}\)
Sobre o hexágono regular, qual é o valor da medida de um dos seus ângulos externos?
A) 120º
B) 80º
C) 60º
D) 50º
E) 40º
Alternativa C
A soma dos ângulos internos de um hexágono é sempre igual a 720º. Como esse hexágono é regular, cada ângulo interno mede 720 : 6 = 120°.
Como o ângulo externo é sempre suplementar ao ângulo interno, ou seja, a soma do externo com o interno é igual a 180°, temos que 180° – 120° = 60°, assim podemos concluir que ângulo externo mede 60°.
(Aeronáutica) Dado um hexágono regular de 6 cm de lado, considere o seu apótema medindo a cm e o raio da circunferência a ele circunscrita medindo R cm. O valor de (R + a√3) é
A) 12
B) 15
C) 18
D) 25
Alternativa B
O raio da circunferência circunscrita no hexágono é igual ao lado do hexágono, logo, R = 6 cm. Agora calcularemos o apótema desse hexágono.
\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)
\(a=\frac{6\sqrt3}{2}\)
\(a=3\sqrt3\)
Então temos que:
\(R+a\sqrt3\)
\(6+3\sqrt3\cdot\sqrt3\)
\(6+3\cdot3\)
\(6+9\)
\(15\)
(UPE) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.
Considere \(\pi=3\ e\ \sqrt3=1,7\)
Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada?
A) 2,0 cm²
B) 3,0 cm²
C) 7,2 cm²
D) 8,0 cm²
E) 10,2 cm²
Alternativa C
Para calcular a área da superfície pintada, calculamos a diferença entre a área do hexágono \(A_H\) e a área do círculo \(A_c\) .
Temos que o lado do hexágono é igual a 2:
\(A_H=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)
\(A_H=3\cdot\frac{2^2\cdot1,7}{2}\)
\(A_H=3\cdot2\cdot1,7\)
\(A_H=6\cdot1,7\)
\(A_H=10,2\)
Agora calculando a área do círculo, como o diâmetro mede 2 cm, então o seu raio é 1 cm.
\(A_C=\pi r^2\)
\(A_C=3\cdot1^2\)
\(A_C=3\)
Por fim, calculamos a diferença:
\(A_H-A_C=10,2-3=7,2\)
Qual deve ser a medida do lado de um hexágono regular, sabendo que o seu apótema mede exatamente 6 cm?
A) \(12\)
B) \(6\)
C) \(2\sqrt3\)
D) \(4\sqrt3\)
E) \(6\sqrt3\)
Alternativa D
Sabemos que:
\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)
Então substituindo o valor do apótema, temos que:
\(6=\frac{l\sqrt3}{2}\)
\(6\cdot2=l\sqrt3\)
\(12=l\sqrt3\)
\(\frac{12}{\sqrt3}=l\)
\(\frac{12}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=l\)
\(\frac{12\sqrt3}{3}=l\)
\(l=4\sqrt3\)
(Mackenzie) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constrói-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede:
A) 5 m
B) 7 m
C) 9 m
D) 11 m
E) 13 m
Alternativa B
Como a área do hexágono é igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero, isso significa que os lados do hexágono são congruentes aos lados do triângulo equilátero, pois sabemos que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros.
Sabemos que a soma dos lados do hexágono e do triângulo é igual a 63 m, então temos que:
6l + 3l = 63
9l = 63
l = 63 : 9
l = 7
