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Exercícios sobre matriz identidade

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios possui questões sobre matriz identidade, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Uma matriz é considerada matriz identidade se:

A) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos forem diferentes de 1.

B) os elementos da diagonal principal forem iguais a 0 e os demais elementos forem iguais a 1.

C) os elementos da diagonal principal forem diferentes de 0 e os demais elementos forem iguais a 1.

D) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0.

questão 2

Sobre a matriz identidade In e a matriz quadrada An, com todos os elementos diferentes de 0, julgue as afirmativas a seguir:

I) \(A\cdot I=A\)

II) \(A+I=A\)

III) \( A-I=I\ \)

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está correta.

B) Somente a afirmativa II está correta.

C) Somente a afirmativa III está correta.

D) Somente as afirmativas I e II estão corretas.

E) Todas as afirmativas estão corretas.

questão 3

A soma entre as matrizes A e B gera matriz identidade de ordem 2:

\(A=\left[\begin{matrix}3&a\\b&-2\\\end{matrix}\right]e\ B=\left[\begin{matrix}c&4\\-1&d\\\end{matrix}\right]\)

Então, o valor de a + b + c + d é:

A) 2

B) 1

C) 0

D) - 1

E) - 2

questão 4

Nas alternativas a seguir, marque aquela que possui uma matriz identidade:

A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

B) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

C) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\\\end{matrix}\right]\)

D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

E) \( \left[\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right]\)

questão 5

O produto entre as matrizes \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\a&5\\\end{matrix}\right]\) e \(B=\left[\begin{matrix}2&-\ a\\-3&5\\\end{matrix}\right]\) gera a matriz identidade, assim, podemos afirmar que o valor de a + b é:

A) - 2  

B) - 1

C) 0

D) 1

E) 2

questão 6

(Fuvest) Considere a matriz:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a&2a+1\\a-1&a+1\\\end{matrix}\right]\)

Sabemos que a é um número real e que A admite inversa A-1, cuja primeira coluna é:

\(\left[\begin{matrix}\ 2a-1\\-1\ \\\end{matrix}\right]\)

Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A-1 é igual a:

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

questão 7

As matrizes \(A=\left[\begin{matrix}5&8\\2&4\\\end{matrix}\right]\) e \( B=\left[\begin{matrix}1&-2\\x&y\\\end{matrix}\right]\) são inversas, ou seja, o produto entre elas é igual à matriz identidade. Então, o valor de x + y é:

A) 1,75

B) 1,50

C) 1,25

D) 0,75

E) 0,25

questão 8

Duas matrizes, A e B, são matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que A é a matriz inversa de B, então det(BA) é igual a:

A) - 2 

B) - 1

C) 0

D) 1

E) 2

questão 9

(Udesc) Sendo a matriz

\(\left[\begin{matrix}x^2-6x+9&0\\x^2-3x-4&1\\\end{matrix}\right]\)

igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2x é:

A) - 4

B) 6

C) 4

D) 8

E) - 8

questão 10

Ao calcular o produto entre as matrizes A e B, foi encontrada como resposta a própria matriz A. Sabendo que essas matrizes são de ordem 3, podemos afirmar que B é matriz:

A) nula de ordem 3.

B) inversa da matriz A.

C) unitária de ordem 3.

D) identidade de ordem 3.

E) linha de ordem 3.

questão 11

Considere a matriz A = [aij]2x2, tal que:

\(aij=1,\ se\ i=j\)

\(aij=0,\ se\ i\neq j\ \)

A alternativa que contém essa matriz é:

A) \(\left[\begin{matrix}1&0\\1&0\\\end{matrix}\right]\)

B) \( \left[\begin{matrix}1&1\\0&0\\\end{matrix}\right]\ \)

C) \( \left[\begin{matrix}0&1\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

D) \( \left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

E) \( \left[\begin{matrix}0&0\\1&1\\\end{matrix}\right]\)

questão 12

Sobre a matriz identidade, julgue as afirmativas a seguir:

I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada.

II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal.

III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está incorreta

B) Somente a afirmativa II está incorreta

C) Somente a afirmativa III está incorreta

D) Todas as afirmativas estão corretas.

respostas
Questão 1

Alternativa D

Em uma matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais elementos são iguais a 0.

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Questão 2

Alternativa A

A matriz identidade é o elemento neutro do produto entre as matrizes. Sendo assim, ao multiplicarmos a matriz identidade por uma matriz A qualquer, esse produto vai ter como resultado a própria matriz A.

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Questão 3

Alternativa E

Sabemos que A + B = I:

\(\left[\begin{matrix}3&a\\b&-2\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}c&4\\-1&d\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

a + 4 = 0
a = - 4

b - 1 = 0
b = 1

3 + c = 1
c = 1 - 3
c = - 2

- 2 + d = 1
d = 1 + 2
d = 3

Temos que:

a + b + c + d = - 4 + 1 - 2 + 3 = - 2

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Questão 4

Alternativa D

Analisando as matrizes apresentadas, percebemos que a única que possui diagonal principal igual a 1 e os demais termos todos iguais a zero é a alternativa D, que apresenta a matriz identidade de ordem 3.

\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

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Questão 5

Alternativa C

Sabemos que:

\(\left[\begin{matrix}2&3\\a&5\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}5&b\\-3&2\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o produto entre a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:

5a - 15 = 0

5a = 15

a = 15 : 5

a = 3

Agora, calculando o valor de b por meio do produto entre a primeira linha da matriz A e a segunda linha da matriz B:

2b + 6 = 0

2b = - 6

b = - 6 : 2

b = - 3

Calculando a soma:

a + b = 3 - 3 = 0

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Questão 6

Alternativa A

Sabemos que o produto entre uma matriz e a sua inversa é igual à matriz identidade:

\(\left[\begin{matrix}a&2a+1\\a-1&a+1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}2a\ -\ 1&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

Calculando o produto entre a segunda linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz:

(a - 1) (2a - 1) + (a + 1) (- 1) = 0

2a² - a - 2a + 1 - a - 1 = 0

2a² - 4a = 0

Nessa equação, colocando a em evidência, temos que:

a(2a - 4) = 0

Assim, a = 0 ou 2a - 4 = 0, mas note que a deve ser diferente de 0, pois se ele for zero, teremos matriz nula, logo nos resta a opção de que 2a - 4 = 0.

2a - 4 = 0

2a = 4

a = 4 : 2

a = 2

Sendo a = 2:     

\(A=\left[\begin{matrix}2&2\bullet2+1\\2-1&2+1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\)

Sobre a matriz B, sabemos que:

\(B=\left[\begin{matrix}2\ \bullet2-1&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]\)

Para encontrar o valor da soma da diagonal principal, encontraremos o valor de c:

\(\left[\begin{matrix}2&5\\1&3\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}3&b\\-1&c\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

Da multiplicação, obtemos:

2b + 5c = 0

1b + 3c = 1

Na segunda equação, podemos isolar b:

1b + 3c = 1

b + 3c = 1

b = 1 - 3c

Substituindo na primeira equação:

2(1 - 3c) + 5c = 0

2 - 6c + 5c = 0

2 - c = 0

c = 2

A soma dos termos da diagonal principal da matriz inversa é:

2 + 3 = 5

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Questão 7

Alternativa D

Como as matrizes são inversas, sabemos que o produto entre elas é igual à matriz identidade:

\(\left[\begin{matrix}5&8\\2&4\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&-2\\x&y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

Multiplicando a segunda linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B:

2 + 4x = 0

4x = - 2

x = \(-\ \frac{2}{4}\)

x = - 0,5

Agora, para calcular o valor de y, faremos a primeira linha da matriz A vezes a segunda coluna da matriz B:

- 2 ∙ 5 + 8y = 0

- 10 + 8y = 0

8y = 10

y = \(\frac{10}{8}\)

y = 1,25

Então a soma é:

x + y = - 0,5 + 1,25 = 0,75

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Questão 8

Alternativa D

Como a matriz A é a inversa da matriz B, o produto entre ambas, BA, é igual à matriz identidade de ordem n.

De modo geral, a matriz identidade possui diagonal principal com termos iguais a 1 e os demais termos iguais a 0. Sendo assim, o determinante de BA é igual ao determinante da matriz identidade, e o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1.

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Questão 9

Alternativa D

Sabemos que:

x² - 6x + 9 = 0 (I)

x² - 3x - 4 = 1 (II)

Fazendo a subtração I - II, temos que:

0x² - 3x + 11 = - 1

- 3x = - 1 - 11

- 3x = - 12 (- 1)

3x = 12

x = 12 : 3

x = 4

Se x = 4, então o valor de 2x = 2 ⋅ 4 = 8.

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Questão 10

Alternativa D

B deve ser a matriz identidade, já que é a matriz identidade o elemento neutro da multiplicação entre matrizes.

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Questão 11

Alternativa D

Sabemos que essa matriz é 2x2, então os seus termos são:

\(\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\)

Logo:

\(a_{11}=1,\ pois\ 1=1\)

\(a_{12}=0,\ pois\ 1\neq2\)

\(a_{21}=0,\ pois\ 2\neq1\)

\(a_{22}=1,\ pois\ 2=2\ \)

Substituindo os valores, encontraremos a matriz identidade de ordem 2, ou seja:

\(\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

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Questão 12

Alternativa C

I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada. (verdadeiro)

A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, existe matriz identidade de qualquer ordem, desde que ela seja quadrada.

II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal. (verdadeira)

A matriz identidade possui os termos da diagonal iguais a 1 e os demais termos iguais a zero, logo ela é uma matriz diagonal.

III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes. (falsa)

A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, e não da soma.

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