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Exercícios sobre matriz inversa

Exercícios sobre matriz inversa

Nesta lista de exercícios, você testará suas habilidades para calcular operações com matriz inversa. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

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Questão 1

Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.

$A=\left[\begin{matrix}3&2\\7&5\\\end{matrix}\right]$

A) $A=\left[\begin{matrix}2&3\\5&7\\\end{matrix}\right]$

B) $A=\left[\begin{matrix}-5&3\\2&7\\\end{matrix}\right]$

C) $A=\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]$

D) $A=\left[\begin{matrix}2&-3\\-5&7\\\end{matrix}\right]$

E) $A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&7\\\end{matrix}\right]$

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Resposta

Alternativa C

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

$A=\left[\begin{matrix}\mathbf{3}&\mathbf{2}\\\mathbf{7}&5\\\end{matrix}\right]$

O determinante dessa matriz é:

$Det\left(A\right)=3\cdot5-7\cdot2=15-14=1$

Logo, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]$

Questão 2

Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.

$A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]$

A) $A=\left[\begin{matrix}-2&7\\5&1\\\end{matrix}\right]$

B) $A=\left[\begin{matrix}-2&3\\5&1\\\end{matrix}\right]$

C) $A=\left[\begin{matrix}-5&-2\\-3&3\\\end{matrix}\right]$

D) $A=\left[\begin{matrix}-1&3\\2&-5\\\end{matrix}\right]$

E) $A=\left[\begin{matrix}5&-3\\2&1\\\end{matrix}\right]$

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Resposta

Alternativa D

$A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]$

O determinante dessa matriz é:

$Det\left(A\right)=5\cdot1-3\cdot2=5-6=-1$

Logo, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{matrix}1&-3\\-2&5\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1&3\\2&-5\\\end{matrix}\right]$

Questão 3

Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.

I. Toda matriz quadrada é invertível.

II. A matriz inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.

III. Toda matriz invertível é uma matriz quadrada.

A) Apenas o item I é falso.

B) Apenas o item II é falso.

C) Apenas o item III é falso.

D) Temos dois itens falsos.

E) Temos dois itens verdadeiros.

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Resposta

Alternativa E

I. Falso. Existem matrizes quadradas que não são invertíveis.

II. Verdadeiro, pois $I_n\cdot I_n=I_n$ .

III. Verdadeiro. Uma matriz é invertível se, e somente se, o determinante dela for diferente de zero. Para existir o determinante de uma matriz, é necessário que ela seja uma matriz quadrada.

Questão 4

Sabendo que a matriz inversa da matriz A é a matriz B, julgue os itens abaixo.

A) Determinante de A é igual ao determinante de B.

B) O produto A∙B=O (matriz nula).

C) Determinante de A é o oposto do determinante de B.

D) Determinante de A é $\frac{1}{Determinate\ de\ B}$ .

E) Os elementos da matriz A são opostos aos elementos da matriz B.

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Resposta

Alternativa D

Alternativa A) Falsa, pois nem todas as matrizes têm seus determinantes iguais ao de sua matriz inversa.
Alternativa B) Falsa, pois A∙B=I (matriz identidade).
Alternativa C) Falsa, pois determinante de A é $\frac{1}{Determinate\ de\ B}$ .
Alternativa D) Verdadeira, determinante de A é $\frac{1}{Determinate\ de\ B}$ .
Alternativa E) Falsa, pois existem casos em que isso não acontece. Exemplo, a matriz identidade tem como sua inversa ela mesma.

Questão 5

Determine a matriz inversa da matriz A.

$A=\left(\begin{matrix}1&2&9\\0&1&6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

A) $\left(\begin{matrix}1&-2&-6\\7&1&3\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

B) $\left(\begin{matrix}1&-2&3\\0&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

C) $\left(\begin{matrix}1&-6&3\\0&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

D) $\left(\begin{matrix}1&0&3\\2&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

E) $\left(\begin{matrix}1&0&0\\-2&1&0\\3&0&1\\\end{matrix}\right)$

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Resposta

Alternativa B

Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:

$\left(\begin{matrix}1&2&9\\0&1&6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

Montando o sistema, temos:

$\begin{cases} x+2w+9c=1\\ y+2a+9d=0\\ z+2b+9t=0\\ 0+w+6c=0\\ 0+a+6d=1\\ 0+b+6t=0\\ 0+0+c=0\\ 0+0+d=0\\ 0+0+t=1 \end{cases}$

Analisando o sistema acima, temos:

$\begin{cases} x=1\\ y=-2\\ z=3\\ w=0\\ a=1\\ b=-6\\ c=0\\ d=0\\ t=1 \end{cases}$

Logo, a matriz inversa é:

$\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2&3\\0&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

Questão 6

Sabendo que a matriz N de ordem 2x2 obedece à lei de formação aij=1, se $\begin{cases} a_{ij}=1,\ se\ i\neq j\\ \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j \end{cases}$ , podemos afirmar que a matriz inversa de N é:

A) $\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\end{matrix}\right)$

B) $\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{7}{3}\\\end{matrix}\right)$

C) $\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)$

D) $\left(\begin{matrix}0&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)$

E) $\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)$

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Resposta

Alternativa C

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado N = $\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\\\end{matrix}\right)$ .

$N=\left(\begin{matrix}\mathbf{2}&\mathbf{1}\\1&2\\\end{matrix}\right)$

O determinante dessa matriz é $Det\left(N\right)=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3$ .

Logo, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)$

Questão 7

Sejam $N=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\\\end{matrix}\right)$ , $M=\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)$ matrizes de ordem 2x2. Marque a alternativa que contempla a inversa da matriz N∙M :

A) $\left(\begin{matrix}-0,24&-0,44\\0,46&0,76\\\end{matrix}\right)$

B) $\left(\begin{matrix}-0,24&0,44\\0,46&-0,76\\\end{matrix}\right)$

C) $\left(\begin{matrix}0,24&0,44\\0,46&-0,76\\\end{matrix}\right)$

D) $\left(\begin{matrix}0,24&0,44\\0,46&0,76\\\end{matrix}\right)$

E) $\left(\begin{matrix}-0,24&0,44\\0,46&0,76\\\end{matrix}\right)$

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Resposta

Alternativa B

Temos que o produto $A=N\cdot M=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)$ .

$A=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)$

O determinante dessa matriz é:

$Det\left(A\right)=38\cdot\left(12\right)-23\cdot22=456-506=-50$

Logo, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\frac{1}{-50}\left(\begin{matrix}12&-22\\-23&38\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0,24&0,44\\0,46&-0,76\\\end{matrix}\right)$

Questão 8

Seja $A=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)$ matriz de ordem 2. Determine a soma dos elementos da matriz inversa de A.

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

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Resposta

Alternativa C

$A=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)$

O determinante dessa matriz é:

$Det\left(A\right)=0\cdot0-1\cdot1=0-1=-1$

Logo, a matriz inversa de A é:

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{matrix}0&-1\\-1&0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)$

Assim, a soma dos elementos é $0+1+1+0=2$ .

Questão 9

Seja $A=\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&1\\\end{matrix}\right)$ uma matriz de ordem 3. Determine soma dos elementos da matriz inversa da matriz A.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

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Resposta

Alternativa B

Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:

$\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

Montando o sistema, temos:

$\begin{cases} 0+w+c=1\\ 0+a+d=0\\ 0+b+t=0\\ 0+w+0=0\\ 0+a+0=1\\ 0+b+0=0\\ x+0+c=0\\ y+0+d=0\\ z+0+t=1\end{cases}$

Analisando o sistema acima, temos que:

$\begin{cases} x=-1\\ y=1\\ z=1\\ w=0\\ a=1\\ b=0\\ c=1\\ d=-1\\ t=0 \end{cases}$

Logo, a matriz inversa é:

$\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1&1\\0&1&0\\1&-1&0\\\end{matrix}\right)$

Assim, a soma de seus elementos é $-1+1+1+0+1+0+1-1+0=2$ .

Questão 10

Seja a matriz dada por $B=\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&2\\\end{matrix}\right)$ . Analise as afirmações abaixo.

A) O determinante da matriz inversa da matriz B é 1.

B) A soma dos elementos da matriz inversa da matriz B é 4.

C) A matriz B não possui matriz inversa.

D) A matriz inversa de B é a matriz identidade.

E) A matriz inversa de B possui todos os elementos negativos.

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Resposta

Alternativa C

Vamos calcular a matriz resultante da soma $\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\4&6\\\end{matrix}\right)$ . Observe que os elementos da primeira linha são nulos, o que faz com que o determinante dessa matriz seja nulo. Sabemos que não existe matriz inversa de uma matriz cujo determinante seja nulo.

Questão 11

Sobre a definição de matriz inversa, analise os itens abaixo em verdadeiro ou falso.

I. Toda matriz quadrada é invertível.

II. Toda matriz identidade é invertível.

III. Toda matriz invertível possui determinante diferente de zero.

IV. Em toda matriz invertível, a sua matriz transposta também é invertível.

V. Existe matriz invertível com todos os elementos que a compõem iguais.

A) Dois itens verdadeiros.

B) Um item verdadeiro.

C) Quatro itens verdadeiros.

D) Três itens verdadeiros.

E) Todos os itens são verdadeiros.

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Resposta

Alternativa D

I. Falso. Existem matrizes quadradas não invertíveis, para isso, basta que seu determinante seja nulo.

II. Verdadeiro, pois o determinante de uma matriz identidade é 1, diferente de zero.

III. Verdadeiro. Uma condição suficiente para uma matriz ser invertível é seu determinante ser diferente de zero.

IV. Verdadeiro. Como o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante de sua original, isso já nos garante a condição necessária para ser invertível.

V. Falso. Se todos os elementos de uma matriz quadrada forem iguais, temos que o seu determinante é zero, e uma consequência disso é que ela não é invertível.

Questão 12

Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.

$M=\left(\begin{matrix}4&7&9\\1&4&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$