Exercícios sobre matriz inversa

Alternativa C

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

\(A=\left[\begin{matrix}\mathbf{3}&\mathbf{2}\\\mathbf{7}&5\\\end{matrix}\right]\) 

O determinante dessa matriz é:

\(Det\left(A\right)=3\cdot5-7\cdot2=15-14=1\) 

Logo, a matriz inversa de A é:

\(A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]\) 

Alternativa D

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

\(A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]\) 

O determinante dessa matriz é:

\(Det\left(A\right)=5\cdot1-3\cdot2=5-6=-1\) 

Logo, a matriz inversa de A é:

\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{matrix}1&-3\\-2&5\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1&3\\2&-5\\\end{matrix}\right]\) 

Alternativa E

I. Falso. Existem matrizes quadradas que não são invertíveis.

II. Verdadeiro, pois \(I_n\cdot I_n=I_n\).

III. Verdadeiro. Uma matriz é invertível se, e somente se, o determinante dela for diferente de zero. Para existir o determinante de uma matriz, é necessário que ela seja uma matriz quadrada.

Alternativa D

• Alternativa A) Falsa, pois nem todas as matrizes têm seus determinantes iguais ao de sua matriz inversa.
• Alternativa B) Falsa, pois A∙B=I (matriz identidade).
• Alternativa C) Falsa, pois determinante de A é \(\frac{1}{Determinate\ de\ B}\).
• Alternativa D) Verdadeira, determinante de A é \(\frac{1}{Determinate\ de\ B}\).
• Alternativa E) Falsa, pois existem casos em que isso não acontece. Exemplo, a matriz identidade tem como sua inversa ela mesma.

Alternativa B

Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:

\(\left(\begin{matrix}1&2&9\\0&1&6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)

Montando o sistema, temos:

\(\begin{cases} x+2w+9c=1\\ y+2a+9d=0\\ z+2b+9t=0\\ 0+w+6c=0\\ 0+a+6d=1\\ 0+b+6t=0\\ 0+0+c=0\\ 0+0+d=0\\ 0+0+t=1 \end{cases}\)

Analisando o sistema acima, temos:

\(\begin{cases} x=1\\ y=-2\\ z=3\\ w=0\\ a=1\\ b=-6\\ c=0\\ d=0\\ t=1 \end{cases}\)

Logo, a matriz inversa é:

\(\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2&3\\0&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)

Alternativa C

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado N = \(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\\\end{matrix}\right)\).

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

\(N=\left(\begin{matrix}\mathbf{2}&\mathbf{1}\\1&2\\\end{matrix}\right)\)

O determinante dessa matriz é \(Det\left(N\right)=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3\).

Logo, a matriz inversa de A é:

\(A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)\)

Alternativa B

Temos que o produto \(A=N\cdot M=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)\).

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

\(A=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)\) 

O determinante dessa matriz é:

\(Det\left(A\right)=38\cdot\left(12\right)-23\cdot22=456-506=-50\) 

Logo, a matriz inversa de A é:

\(A^{-1}=\frac{1}{-50}\left(\begin{matrix}12&-22\\-23&38\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0,24&0,44\\0,46&-0,76\\\end{matrix}\right)\) 

Alternativa C

Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.

\(A=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\) 

O determinante dessa matriz é:

\(Det\left(A\right)=0\cdot0-1\cdot1=0-1=-1\) 

Logo, a matriz inversa de A é:

\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{matrix}0&-1\\-1&0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\) 

Assim, a soma dos elementos é \(0+1+1+0=2\).

Alternativa B

Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:

\(\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)

Montando o sistema, temos:

\(\begin{cases} 0+w+c=1\\ 0+a+d=0\\ 0+b+t=0\\ 0+w+0=0\\ 0+a+0=1\\ 0+b+0=0\\ x+0+c=0\\ y+0+d=0\\ z+0+t=1\end{cases}\)

Analisando o sistema acima, temos que:

\(\begin{cases} x=-1\\ y=1\\ z=1\\ w=0\\ a=1\\ b=0\\ c=1\\ d=-1\\ t=0 \end{cases}\)

Logo, a matriz inversa é:

\(\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1&1\\0&1&0\\1&-1&0\\\end{matrix}\right)\)

Assim, a soma de seus elementos é \(-1+1+1+0+1+0+1-1+0=2\).                    

Alternativa C

Vamos calcular a matriz resultante da soma \(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\4&6\\\end{matrix}\right)\). Observe que os elementos da primeira linha são nulos, o que faz com que o determinante dessa matriz seja nulo. Sabemos que não existe matriz inversa de uma matriz cujo determinante seja nulo.

Alternativa D

I. Falso. Existem matrizes quadradas não invertíveis, para isso, basta que seu determinante seja nulo.

II. Verdadeiro, pois o determinante de uma matriz identidade é 1, diferente de zero.

III. Verdadeiro. Uma condição suficiente para uma matriz ser invertível é seu determinante ser diferente de zero.  

IV. Verdadeiro. Como o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante de sua original, isso já nos garante a condição necessária para ser invertível.

V. Falso. Se todos os elementos de uma matriz quadrada forem iguais, temos que o seu determinante é zero, e uma consequência disso é que ela não é invertível.

Alternativa E

I. Verdadeiro. M é uma matriz invertível, pois o seu determinante é 9.

II. Verdadeiro. B é uma matriz invertível, pois seu determinante é -64.

III. Falso. C não é uma matriz invertível, pois o seu determinante é zero.