Exercícios sobre matriz inversa
Nesta lista de exercícios, você testará suas habilidades para calcular operações com matriz inversa.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.
\(A=\left[\begin{matrix}3&2\\7&5\\\end{matrix}\right]\)
Alternativa C
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
\(A=\left[\begin{matrix}\mathbf{3}&\mathbf{2}\\\mathbf{7}&5\\\end{matrix}\right]\)
O determinante dessa matriz é:
\(Det\left(A\right)=3\cdot5-7\cdot2=15-14=1\)
Logo, a matriz inversa de A é:
\(A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5&-2\\-7&3\\\end{matrix}\right]\)
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Questão 2
Determine a matriz inversa da matriz A dada abaixo.
\(A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]\)
Alternativa D
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
\(A=\left[\begin{matrix}5&3\\2&1\\\end{matrix}\right]\)
O determinante dessa matriz é:
\(Det\left(A\right)=5\cdot1-3\cdot2=5-6=-1\)
Logo, a matriz inversa de A é:
\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{matrix}1&-3\\-2&5\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1&3\\2&-5\\\end{matrix}\right]\)
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Questão 3
Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
I. Toda matriz quadrada é invertível.
II. A matriz inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.
III. Toda matriz invertível é uma matriz quadrada.
Alternativa E
I. Falso. Existem matrizes quadradas que não são invertíveis.
II. Verdadeiro, pois \(I_n\cdot I_n=I_n\).
III. Verdadeiro. Uma matriz é invertível se, e somente se, o determinante dela for diferente de zero. Para existir o determinante de uma matriz, é necessário que ela seja uma matriz quadrada.
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Questão 4
Sabendo que a matriz inversa da matriz A é a matriz B, julgue os itens abaixo.
Alternativa D
- Alternativa A) Falsa, pois nem todas as matrizes têm seus determinantes iguais ao de sua matriz inversa.
- Alternativa B) Falsa, pois A∙B=I (matriz identidade).
- Alternativa C) Falsa, pois determinante de A é \(\frac{1}{Determinate\ de\ B}\).
- Alternativa D) Verdadeira, determinante de A é \(\frac{1}{Determinate\ de\ B}\).
- Alternativa E) Falsa, pois existem casos em que isso não acontece. Exemplo, a matriz identidade tem como sua inversa ela mesma.
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Questão 5
Determine a matriz inversa da matriz A.
\(A=\left(\begin{matrix}1&2&9\\0&1&6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)
Alternativa B
Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:
\(\left(\begin{matrix}1&2&9\\0&1&6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)
Montando o sistema, temos:
\(\begin{cases} x+2w+9c=1\\ y+2a+9d=0\\ z+2b+9t=0\\ 0+w+6c=0\\ 0+a+6d=1\\ 0+b+6t=0\\ 0+0+c=0\\ 0+0+d=0\\ 0+0+t=1 \end{cases}\)
Analisando o sistema acima, temos:
\(\begin{cases} x=1\\ y=-2\\ z=3\\ w=0\\ a=1\\ b=-6\\ c=0\\ d=0\\ t=1 \end{cases}\)
Logo, a matriz inversa é:
\(\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2&3\\0&1&-6\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)
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Questão 6
Sabendo que a matriz N de ordem 2x2 obedece à lei de formação aij=1, se \(\begin{cases} a_{ij}=1,\ se\ i\neq j\\ \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j \end{cases} \), podemos afirmar que a matriz inversa de N é:
Alternativa C
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado N = \(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\\\end{matrix}\right)\).
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
\(N=\left(\begin{matrix}\mathbf{2}&\mathbf{1}\\1&2\\\end{matrix}\right)\)
O determinante dessa matriz é \(Det\left(N\right)=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3\).
Logo, a matriz inversa de A é:
\(A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\end{matrix}\right)\)
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Questão 7
Sejam \(N=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\\\end{matrix}\right)\), \(M=\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)\) matrizes de ordem 2x2. Marque a alternativa que contempla a inversa da matriz N∙M :
Alternativa B
Temos que o produto \(A=N\cdot M=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)\).
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
\(A=\left(\begin{matrix}38&22\\23&12\\\end{matrix}\right)\)
O determinante dessa matriz é:
\(Det\left(A\right)=38\cdot\left(12\right)-23\cdot22=456-506=-50\)
Logo, a matriz inversa de A é:
\(A^{-1}=\frac{1}{-50}\left(\begin{matrix}12&-22\\-23&38\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0,24&0,44\\0,46&-0,76\\\end{matrix}\right)\)
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Questão 8
Seja \( A=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\) matriz de ordem 2. Determine a soma dos elementos da matriz inversa de A.
Alternativa C
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
\(A=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\)
O determinante dessa matriz é:
\(Det\left(A\right)=0\cdot0-1\cdot1=0-1=-1\)
Logo, a matriz inversa de A é:
\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{matrix}0&-1\\-1&0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\)
Assim, a soma dos elementos é \(0+1+1+0=2\).
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Questão 9
Seja \(A=\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&1\\\end{matrix}\right)\) uma matriz de ordem 3. Determine soma dos elementos da matriz inversa da matriz A.
Alternativa B
Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:
\(\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)
Montando o sistema, temos:
\(\begin{cases} 0+w+c=1\\ 0+a+d=0\\ 0+b+t=0\\ 0+w+0=0\\ 0+a+0=1\\ 0+b+0=0\\ x+0+c=0\\ y+0+d=0\\ z+0+t=1\end{cases}\)
Analisando o sistema acima, temos que:
\(\begin{cases} x=-1\\ y=1\\ z=1\\ w=0\\ a=1\\ b=0\\ c=1\\ d=-1\\ t=0 \end{cases}\)
Logo, a matriz inversa é:
\(\left(\begin{matrix}x&y&z\\w&a&b\\c&d&t\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1&1\\0&1&0\\1&-1&0\\\end{matrix}\right)\)
Assim, a soma de seus elementos é \(-1+1+1+0+1+0+1-1+0=2\).
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Questão 10
Seja a matriz dada por \(B=\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&2\\\end{matrix}\right)\). Analise as afirmações abaixo.
Alternativa C
Vamos calcular a matriz resultante da soma \(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\4&6\\\end{matrix}\right)\). Observe que os elementos da primeira linha são nulos, o que faz com que o determinante dessa matriz seja nulo. Sabemos que não existe matriz inversa de uma matriz cujo determinante seja nulo.
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Questão 11
Sobre a definição de matriz inversa, analise os itens abaixo em verdadeiro ou falso.
I. Toda matriz quadrada é invertível.
II. Toda matriz identidade é invertível.
III. Toda matriz invertível possui determinante diferente de zero.
IV. Em toda matriz invertível, a sua matriz transposta também é invertível.
V. Existe matriz invertível com todos os elementos que a compõem iguais.
Alternativa D
I. Falso. Existem matrizes quadradas não invertíveis, para isso, basta que seu determinante seja nulo.
II. Verdadeiro, pois o determinante de uma matriz identidade é 1, diferente de zero.
III. Verdadeiro. Uma condição suficiente para uma matriz ser invertível é seu determinante ser diferente de zero.
IV. Verdadeiro. Como o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante de sua original, isso já nos garante a condição necessária para ser invertível.
V. Falso. Se todos os elementos de uma matriz quadrada forem iguais, temos que o seu determinante é zero, e uma consequência disso é que ela não é invertível.
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Questão 12
Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.
\(M=\left(\begin{matrix}4&7&9\\1&4&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\)
\(B=\left(\begin{matrix}1&2&9\\1&2&5\\9&2&9\\\end{matrix}\right)\)
\(C=\left(\begin{matrix}2&3&9\\8&4&12\\9&8&24\\\end{matrix}\right)\)
I. A matriz M é invertível.
II. A matriz B é invertível.
III. A matriz C é invertível.
Alternativa E
I. Verdadeiro. M é uma matriz invertível, pois o seu determinante é 9.
II. Verdadeiro. B é uma matriz invertível, pois seu determinante é -64.
III. Falso. C não é uma matriz invertível, pois o seu determinante é zero.