Exercícios sobre método de completar quadrados
O produto entre as raízes da equação x2 – 8x – 9 = 0 é igual a:
a) 5
b) – 5
c) – 9
d) 9
e) – 1
Observe que, para essa equação ser um trinômio quadrado perfeito, falta apenas o número 16 no lugar de – 9. Isso acontece porque o termo do meio é duas vezes o primeiro vezes o segundo. Como o primeiro termo é x, o segundo tem que ser 4. O último termo de um trinômio quadrado perfeito é o quadrado do segundo e, portanto, deve ser 16 nesse caso. Sendo assim, somaremos 16 aos dois membros da equação.
x2 – 8x – 9 = 0
x2 – 8x – 9 + 16 = 0 + 16
Para que o lado esquerdo seja trinômio quadrado perfeito, basta remover – 9, passando-o para o outro membro.
x2 – 8x + 16 = 16 + 9
Escrevendo o lado esquerdo em sua forma fatorada e fazendo os cálculos possíveis no lado direito, teremos:
(x – 4)2 = 25
Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros, encontraremos:
√(x – 4)2 = √25
x – 4 = ±5
Assim, x terá dois valores:
x = 5 + 4 = 9 e
x = – 5 + 4 = – 1
O produto entre esses dois valores é
9·(– 1) = – 9
Gabarito: letra C.
Um retângulo possui a largura igual ao comprimento acrescido de quatro unidades. Sabendo que o produto entre a largura e o comprimento desse retângulo menos cinco tem zero como resultado, calcule suas dimensões.
a) x = 0
b) x = 1
c) x = – 5
d) x = – 6
e) x = 0
A equação que representa essa situação é a seguinte:
x(x + 4) – 5 = 0
Ela pode ser reescrita da seguinte maneira:
x2 + 4x – 5 = 0
Para que o primeiro membro seja um trinômio quadrado perfeito, seria necessário um 4 no lugar de – 5. Somando 4 nos dois termos da equação, teremos:
x2 + 4x – 5 + 4 = 0 + 4
x2 + 4x + 4 = 4 + 5
x2 + 4x + 4 = 9
Agora reescreveremos a equação fatorando o primeiro membro:
(x + 2)2 = 9
Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros, teremos:
√(x + 2)2 = √9
x + 2 = ± 3
Assim, os dois valores de x são:
x = 3 – 2 = 1
ou
x = – 3 – 2 = – 5
Como x é um dos comprimentos de um retângulo, apenas x = 1 é o resultado dessa questão.
Gabarito: letra B.
Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono regular que possui 20 diagonais?
a) 8°
b) 135°
c) 1080°
d) 130°
e) 140°
Para resolver o exercício, é necessário descobrir o número de lados desse polígono, depois calcular a soma dos seus ângulos internos e só então descobrir a medida de um ângulo interno único. Para calcular o número de lados de um polígono a partir do número de diagonais, usaremos a seguinte fórmula:
d = n(n – 3)
2
20 = n(n – 3)
2
2·20 = n(n – 3)
40 = n2 – 3n
0 = n2 – 3n – 40
É possível calcular o valor de n a partir do método de completar quadrados. Para isso, perceba que – 3n é igual a – 2(3/2)n. Sabendo que esse termo é duas vezes o primeiro vezes o segundo, podemos concluir que o termo que falta para completar o quadrado perfeito é (3/2)2. Somando esse termo aos dois lados da igualdade, teremos:
(3/2)2 + 0 = n2 – 3n – 40 + (3/2)2
9 + 40 = n2 – 3n + 9
4 4
O lado direito da equação pode ser escrito como o quadrado da diferença:
9 + 40 = (n – 3/2)2
4
Resolvendo o lado esquerdo, teremos:
9 + 160 = (n – 3/2)2
4 4
169 = (n – 3/2)2
4
Fazendo a raiz quadrada dos dois termos, teremos:
√(169/4) = √(n – 3/2)2
13 = ±(n – 3/2)
2
Simplificando a equação, encontraremos:
13 = ±2(n – 3/2)
Assim, n pode ter dois resultados: o primeiro considera o segundo membro como positivo e o segundo resultado considera o segundo membro como negativo. Observe:
13 = 2(n – 3/2)
13 = 2n – 2·3/2
13 = 2n – 3
13 + 3 = 2n
16 = 2n
n = 16
2
n = 8
Já o segundo resultado será:
13 = – 2(n – 3/2)
13 = – 2n + 2·3/2
13 = – 2n + 3
13 – 3 = – 2n
10 = – 2n
n = 10
–2
n = – 5
O resultado é referente a um número de lados e, por isso, não pode ser negativo. O resultado é, portanto, n = 8.
Agora vamos calcular a soma dos ângulos internos desse polígono:
S = (n – 2)180
S = (8 – 2)180
S = 6·180
S = 1080
Sabendo que o polígono é regular, basta dividir a soma dos ângulos internos por 8, que é a quantidade de ângulos internos desse polígono.
1080 = 135°
8
Gabarito: letra B.
O piso de uma sala comercial é retangular e tem 140 m2 de área. As medidas dos lados desse piso são x + 2 e x + 6. Quais são essas medidas?
a) 10 e 10 metros
b) 8 e 8 metros
c) 70 e 70 metros
d) 14 e 14 metros
e) 10 e 14 metros
Em primeiro lugar, multiplique as expressões algébricas e iguale o resultado a 140, pois o produto do comprimento pela largura de um retângulo é o que determina sua área.
(x + 2)(x + 6) = 140
x2 + 6x + 2x + 12 = 140
x2 + 8x + 12 = 140
x2 + 8x + 12 – 140 = 0
x2 + 8x – 128 = 0
Note que o segundo termo da expressão é igual a 2·4x. Assim, para ser um quadrado perfeito, o terceiro termo da equação acima deveria ser 16. Assim, somaremos 16 aos dois lados da equação e passaremos 128 para o outro lado, deixando apenas o quadrado perfeito do lado esquerdo. Observe:
x2 + 8x – 128 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x +16 = 16 + 128
x2 + 8x +16 = 144
Reescrevendo o lado esquerdo como quadrado da soma, teremos:
(x + 4)2 = 144
Agora vamos realizar a raiz quadrada em ambos os membros:
√((x + 4)2) = √144
x + 4 = ± 12
Os dois resultados de x serão:
x = 12 – 4
x = 8
ou
x = – 12 – 4
x = – 16
A medida de x não pode ser – 16, pois se trata de um comprimento.
Logo, os lados desse galpão medem 8 + 2 = 10 m e 8 + 6 = 14 m.
Gabarito: letra E.
