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Exercícios sobre poliedros

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios possui questões resolvidas sobre poliedros, que são casos particulares de sólidos geométricos. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:

A) cubo.

B) dodecaedro.

C) tetraedro.

D) paralelepípedo.

E) icosaedro.

questão 2

Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

A) 20.

B) 24.

C) 28.

D) 30.

E) 32.

questão 3

(Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:

A) 33 vértices e 22 arestas.

B) 12 vértices e 11 arestas.

C) 22 vértices e 11 arestas.

D) 11 vértices e 22 arestas.

E) 12 vértices e 22 arestas.

questão 4

Analise o sólido geométrico a seguir:

Podemos afirmar que:

(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.

(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.

(III) esse sólido geométrico é um poliedro.

Marque a alternativa correta.

A) Somente I é falsa

B) Somente II é falsa

C) Somente III é falsa

D) Somente I e II são falsas

E) Somente I e III são falsas

questão 5

Considere as afirmações a seguir sobre poliedros.

I → O cilindro é um poliedro, pois suas faces são formadas por círculos.

II → A pirâmide é um poliedro, pois sua base é um polígono e as suas faces laterais são triângulos.

III →  O trapézio é um poliedro, pois ele possui lados formados por polígonos e é fechado.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

questão 6

(Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

A) tetraedro.

B) pirâmide retangular.

C) tronco de pirâmide retangular.

D) prisma quadrangular reto.

E) prisma triangular reto.

questão 7

Um poliedro pode ser classificado como convexo ou côncavo, dependendo do seu formato. Veja alguns poliedros.

A) Convexo, convexo e côncavo.

B) Côncavo, convexo e côncavo.

C) Convexo, côncavo e convexo.

D) Convexo, Convexo e côncavo.

E) Côncavo, côncavo e convexo.

questão 8

Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa que possui o formato igual ao do poliedro a seguir:

Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar que a soma do número de faces, vértices e arestas é igual a:

A) 26.

B) 25.

C) 24.

D) 23.

E) 22.

questão 9

(Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:

A) 6.

B) 7.

C) 8.

D) 9.

E) 10.

questão 10

(Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:

A) 35.

B) 34.

C) 33.

D) 32.

E) 31.

questão 11

Considere os sólidos geométricos a seguir.

Podemos afirmar que:

A) somente I é um poliedro.

B) somente II é um poliedro.

C) ambos são poliedros.

D) nenhum deles é um poliedro.

E) ambos são polígonos.

questão 12

Marque a alternativa que possui somente poliedros.

A) Hexaedro, prisma de base triangular, cone.

B) Esfera, cilindro e tronco de cone.

C) Cubo, pirâmide de base quadrada e prisma.

D) Cubo, cone e cilindro.

E) Tronco da pirâmide, pirâmide e elipse.

respostas
Questão 1

Alternativa D. Os paralelepípedos nem sempre são sólidos de Platão, pois as suas faces não são todas iguais, exceto quando ele é um hexaedro regular. Assim sendo, não podemos afirmar que todo paralelepípedo é um sólido de Platão.

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Questão 2

Alternativa D.

Sabemos que ele é convexo, logo vale a relação de Euler:

V + F = A + 2

12 + 20 = A + 2

32 = A + 2

A = 32 – 2

A = 30

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Questão 3

Alternativa E. A pirâmide possui todas as faces laterias no formato de triângulos. Além dessas 11 faces triangulares, há somente mais 1 face, a face da base, que é formada por um polígono de 11 lados e 11 vértices, já que há 11 faces triangulares. Além dos 11 vértices da base, esse polígono possui também o chamado vértice da pirâmide. Assim sendo, esse poliedro possui 12 vértices. Pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

12 + 12 = A + 2

24 = A + 2

A = 24 – 2

A = 22

Portanto, 12 vértices e 22 arestas.

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Questão 4

Alternativa A.

(I) Falsa, pois ele possui um total de 15 arestas.

(II) Verdadeira.

(III) Verdadeira.

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Questão 5

Alternativa B.

I → Falsa, pois o cilindro é um corpo redondo, e não um poliedro.

II → Verdadeira.

III → Falsa, pois o trapézio é um objeto bidimensional, logo ele é um polígono, e não um poliedro.

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Questão 6

Alternativa E.

É possível perceber que os ângulos são todos de 90º. Além disso, esse sólido possui bases triangulares, característica essa do prisma triangular.

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Questão 7

Alternativa D. Um poliedro é côncavo quando, dados dois pontos pertencentes ao poliedro, o segmento que liga esses dois pontos não pertence ao poliedro, caso contrário ele é convexo. O único poliedro que satisfaz a definição para ser côncavo é o III, então:

I → convexo

II → convexo

III → côncavo

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Questão 8

Alternativa A.

Primeiro vamos contar o número de vértices, arestas e faces na imagem.

A = 12

F = 8

V = 6

Agora, basta realizar a soma:

 A + F + V =  12 + 8 + 6 = 26

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Questão 9

Alternativa B.

Calculando o total de arestas, temos que:

4 faces triangulares → 4 · 3

2 faces quadrangulares → 2 · 4

1 face hexagonal → 6 

Sabemos que o lado dos polígonos corresponde às arestas do poliedro. Além disso, a aresta é o encontro de duas faces, logo, para encontrar o número de arestas, vamos calcular o total de arestas e dividir por dois, pois elas pertencem a duas faces simultaneamente.

A = (4 · 3 + 2 ·  4 + 6 ) : 2

A = (12 + 8 + 6) : 2

A = 26 : 2

A = 13

O total de faces é 4 + 2 + 1 = 8.

Pela relação de Euler, temos que

V + F = A + 2

V + 8 = 13 + 2

V +  8 = 15

V = 15 – 8

V = 7

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Questão 10

Alternativa D.

Se ele possui 60 faces triangulares, sabemos que cada face tem 3 arestas; porém, a aresta é o encontro de duas faces, então, para calcular a quantidade de arestas, vamos multiplicar o número de faces por 3 e dividir por 2.

60 · 3 : 2 = 90 arestas.

 Agora, pela relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2

V + 60 = 90 + 2

V = 92 – 60

V = 32

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Questão 11

Alternativa B. Analisando os sólidos geométricos, o I é um cone, que é um corpo redondo e não pode ser classificado como poliedro. Já o sólido geométrico II é um prisma de base pentagonal, que é um poliedro.

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Questão 12

Alternativa C.

O cubo, as pirâmides e os prismas são todos poliedros.

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