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Exercícios sobre polinômios

Exercícios de Matemática

Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que possui questões resolvidas sobre os principais conceitos envolvendo polinômios. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

A) 2xy

B) 15 − 3x

C) 15 − 5y

D) -5y − 3x

E) 5y + 3x − xy

questão 2

Dados os polinômios p(x) = 2x³ + 3x² + 1 e q(x) = 3x² + 5x – 15, a soma p(-2) + q(2) é igual a:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

questão 3

(EAM - Aprendiz de marinheiro) Analise a figura a seguir:

Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno é:

A) 2x + 3y + z

B) 3x + 4y + 2z

C) 3x + 3y + z

D) 3x + 2y + 3z

E) 4x + 3y + 2z

questão 4

Conhecendo o polinômio p(x) = 6x4 + 3x³ – 2x + x5, podemos afirmar que o seu grau é igual a:

A) 4
B) 5
C) 12
D) 11
E) 13

questão 5

Sabendo que -3 é raiz do polinômio p(x) = 2x³ + kx², então, o valor de k é igual a:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

questão 6

Conhecendo os polinômios a seguir:

P = 3a² + 4ab – 3b²

Q = a² + b²

R = -4a² – 3ab + 2b²

Então, o valor da soma P + Q + R é igual a:

A) ab

B) a² + ab – b²

C) 2a² + 2ab

D) 3a² + 4ab + b²

E) a² – ab

questão 7

Um terreno possui toda a região coberta de grama, conforme a imagem a seguir:

O polinômio que representa o perímetro do polígono é:

A) 4a + 3b
B) 2a – b + 2
C) 4a + 3b + 4
D) 2a + 2b + 1
E) 3b + 4

questão 8

Dados os polinômios P(x) = x² + 3x – 2 e Q(x) = x² – 5, ou seja, M(x) = P(x) · Q(x), então, M(3) é igual a:

A) 65
B) 74
C) 58
D) 64
E) 90

questão 9

Qual deve ser o valor de k, para que o polinômio P(x) = (k² – 16)x4 + (k + 4)x3 + kx² + 2x – 4 tenha grau 2?

A) 4
B) -4
C) ±4
D) 16
E) -16

questão 10

Analise o retângulo a seguir:

Qual é o polinômio que representa a área desse retângulo:

A) 3x + 7
B) x² + 12
C) 2x² + 12
D) 2x² + 10x + 12
E) x² + 5x + 7

questão 11

Dados P(x) = x² – x + 6 e D(x) = x – 3, e sendo Q(x) = P(x) : D(x), então, o valor de Q(-2) é:

A) 1
B) 2
C) 0
D) -1
E) -2

questão 12

Ao realizar o produto dos polinômios P(x) e Q(x), sabendo que P(x) tem grau 3 e Q(x) tem grau 5, o grau do polinômio P(x) · Q(x) será:

A) 5
B) 8
C) 15
D) 2
E) 9

respostas
Questão 1

Alternativa E

A área perdida pode ser separada em três retângulos.

O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x, mas note que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy.

Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com a do retângulo em azul menos a área em comum.

5y + 3x – xy

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Questão 2

Alternativa D

Primeiro calcularemos o valor numérico de cada um dos polinômios para os valores dados, começando com p(-2):

p(x) = 2x³ + 3x² + 1

p(-2) = 2 · (-2)3 + 3 · (-2)2 + 1

p(-2) = 2 · (-8) + 3 · 4 + 1

p(-2) = -16 + 12 + 1

p(-2) = -3

Agora com q(2):

q(x) = 3x² + 5x – 15

q(2) = 3 · 2² + 5 · 2 – 15

q(2) = 3 · 4 + 10 – 15

q(2) = 12 + 10 – 15

q(2) = 7

Agora calcularemos p(-2) + q(2) = -3 + 7 = 4

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Questão 3

Alternativa B

O perímetro é a soma de todos os lados da figura:

P = 2y + z + z + y + x + x + y + x

Simplificando o polinômio:

P = 3x + 4y + 2z

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Questão 4

Alternativa B

O grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau. Analisando o polinômio p(x), é possível perceber que o maior expoente é 5, logo, ele possui grau 5.

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Questão 5

Alternativa E

Como -3 é raiz do polinômio, então, p(-3) = 0. Substituindo x = -3 e igualando a zero, temos que:

p(-3) = 2 · (-3)3 + k · (-3)2

p(-3) = 2 · (-27) + k · 9

p(-3) = -54 + k · 9

0 = -54 + 9k

54 = 9k

9k = 54

k = 54 : 9

k = 6

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Questão 6

Alternativa A

Realizando a soma, temos que:

P + Q + R = (3a² + 4ab – 3b²) + (a² + b²) + (-4a² – 3ab + 2b²)

Simplificando os termos semelhantes, temos:

P + Q + R = 3a² + 4ab – 3b² + a² + b² – 4a²3ab + 2b²

P + Q + R = 0a² + ab + 0b²

P + Q + R = ab

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Questão 7

Alternativa C

O perímetro é a soma de todos os lados da figura, dada por:

P = 2a + b + b + 3 + a + 1 + b + a

P = 4a + 3b + 4

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Questão 8

Alternativa D

Primeiro calcularemos o produto entre P(x) e Q(x):

M(x) = (x² + 3x – 2) (x² – 5)

M(x) = x4 – 5x² + 3x³ – 15x – 2x² + 10

M(x) = x4 – 7x² + 3x³ – 15x + 10

Agora calcularemos M(3):

M(3) = 34 – 7 (3)² + 3 (3)³ – 15x + 10

M(3) = 81 – 7 · 9 + 3 · 27 – 15 · 3 + 10

M(3) = 81 – 63 + 81 – 45 + 10

M(3) = 64

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Questão 9

Alternativa B

Para que o polinômio tenha grau 0, os coeficientes que acompanham x4 e x3 têm que ser iguais a 0, ou seja:

P(x) = (k² – 16)x4 + (k + 4)x3 + kx² + 2x – 4

k² – 16 = 0 e k + 4 = 0

Encontraremos os valores para o primeiro coeficiente:

k² – 16 = 0

k² = 16

k = ± √16

k = ± 4

Agora encontraremos o valor de k para o segundo coeficiente:

k + 4 = 0

k = -4

Como solução para o coeficiente de x4, temos k = ± 4, e para o coeficiente de x3, k = -4. Então, como solução para que os dois coeficientes sejam igual a 0, temos k = -4.

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Questão 10

Alternativa D

A área do retângulo é o produto entre os lados:

A = (2x + 4) (x + 3)

A = 2x² + 6x + 4x + 12

A= 2x² + 10x + 12

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Questão 11

Alternativa C

Realizaremos a divisão dos polinômios:

Então, Q(x) = x + 2

Queremos Q(-2) = -2 + 2 = 0

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Questão 12

Alternativa B

Sabendo que o grau de P(x) é 3 e o grau de Q(x) é 5, para saber o grau do polinômio encontrado por meio do produto desses polinômios, basta realizar a soma dos graus, 5 + 3 = 8.

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