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Exercícios sobre o ponto de intersecção entre duas retas

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios pode avaliar seus conhecimentos sobre o ponto de intersecção entre duas retas, conteúdo geralmente estudado em Geometria Analítica. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

Qual é o ponto de encontro entre duas retas concorrentes cujas equações são y = x + 1 e y = 2 – x?

a) P = (2, 3)

b) P = (2, 1/2)

c) P = (1/2, 3/2)

d) P = (1/2, 3)

e) P = (1, 1)

questão 2

Sejam x e y as coordenadas do ponto de encontro entre as retas de equações – 2x + y = – 1 e x + y = 2, determine x + y.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

questão 3

Qual a distância do ponto de intersecção das retas de equações – x + 2y = – 2 e x + y = 2 e a origem do plano cartesiano?

a) √5

b) 2√5

c) 3√5

d) √5/3

e) 2√5/3

questão 4

Qual é o produto entre as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas x + y = – 1 e – x + 2y = – 5?

a) 2

b) – 2

c) 1

d) – 1

e) 0

respostas
Questão 1

Para resolver esse problema, podemos construir um sistema linear com essas duas equações ou considerar que, se ambas são iguais a y, então podemos igualar o segundo membro da primeira equação ao segundo membro da segunda equação. Observe:

y = y

x + 1 = 2 – x

x + x = 2 – 1

2x = 1

x = 1/2

Para encontrar o valor de y, basta substituir o valor encontrado para x em uma das duas equações:

y = x + 1

y = 1/2 + 1

y = 3/2

O ponto de encontro entre as duas retas, ou seja, o ponto de intersecção entre elas é:

P = (1/2, 3/2)

Gabarito: Alternativa C.

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Questão 2

Para encontrar as coordenadas do ponto de encontro entre duas retas, pode-se usar o sistema formado pelas equações dessas retas ou igualar suas equações quando uma incógnita está isolada. Utilizaremos a segunda alternativa, isolando antes a incógnita y em cada uma das equações.

– 2x + y = – 1
y = 2x – 1

x + y = 2
y = 2 – x

Igualando as duas equações, teremos:

y = y

2x – 1 = 2 – x

2x + x = 2 + 1

3x = 3

x = 3/3

x = 1

Substituindo o valor de x em qualquer uma das equações, teremos:

y = 2 – x

y = 2 – 1

y = 1

A soma dos coeficientes é:

x + y = 1 + 1 = 2

Gabarito: Alternativa A.

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Questão 3

Para resolver essa questão, o primeiro passo é determinar o ponto de intersecção entre as duas retas, para, em seguida, encontrar a distância entre esse ponto e a origem do plano cartesiano. Nesse caso, observe que será mais fácil isolar a incógnita x do que a incógnita y. Assim, teremos:

– x = – 2 – 2 y
x = 2 + 2y

x + y = 2
x = 2 – y

y = y
2 + 2y = 2 – y
2y + y = 2 + 2
3y = 4
y = 4/3

Substituindo esse valor em uma das equações:

x = 2 – y

x = 2 – 4/3

x = 2/3

A distância entre o ponto (2/3, 4/3) e a origem (0, 0) será:

d2 = (2/3 – 0)2 + (4/3 – 0)2

d2 = (2/3)2 + (4/3)2

d2 = 4/9 + 16/9

d2 = 20/9

d = 20
     √9

d = 25
     3

Gabarito: Alternativa E.

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Questão 4

Primeiramente, encontre o ponto de intersecção entre as duas retas. Para tanto, isolaremos a incógnita x em ambas.

x + y = – 1
x = – 1 – y

– x + 2y = – 5
– x = – 5 – 2y
x = 2y + 5

y = y
2y + 5 = – 1 – y
2y + y = – 1 – 5
3y = – 6
y = – 6/3
y = – 2

x = – 1 – y
x = – 1 – (– 2)
x = – 1 + 2
x = 1

O produto entre as coordenadas do ponto é:

1·(– 2) = – 2

Gabarito: Alternativa B.

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