Exercícios sobre progressão geométrica
Esta lista de exercícios é composta por questões resolvidas sobre progressão geométrica e vai te auxiliar nos seus estudos sobre as principais propriedades da PG.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
A soma dos 8 primeiros termos de uma progressão geométrica é 255. Sabendo que a razão dessa progressão é igual a 2, o primeiro termo dessa sequência é:
Alternativa A.
Sabemos que:
S8 = 255
q = 2
Para encontrar o termo a1, temos que:
\(S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \\ 255 = a_1 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} \\ 255 = a_1 \cdot \frac{256 - 1}{1} \\ 255 = a_1 \cdot 255 \\ \frac{255}{255} = a_1 \\ a_1 = 1 \)
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Questão 2
Uma progressão geométrica é decrescente quando:
Alternativa A
A PG é decrescente se a sua razão for um número entre 0 e 1.
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Questão 3
Uma certa população de fungos cresce de forma que seu número dobra a cada 3 horas. Sabendo que havia inicialmente 500 fungos, quantos fungos existirão após 18 horas?
Alternativa D.
Se o crescimento sempre dobra, então a razão será igual a 2.
Sabemos que o número dobra a cada 3 horas. Como há 18 horas, então tivemos um total de 18 : 3 = 6 períodos de duplicação.
Sabemos que havia 500 fungos inicialmente, e queremos o 7º termo, que representa 6 duplicações:
\(a_7 = 500 \cdot 2^{7 - 1} = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32.000 \)
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Questão 4
Em uma fazenda de criação de abelhas em Cocalzinho de Goiás, observou-se que uma espécie de ácaro parasita estava se espalhando entre as colmeias de forma acelerada. Estimativas mostraram que o número de colmeias afetadas aumentava segundo uma progressão geométrica de razão 1,5 a cada semana. Sabendo que, em um certo dia, havia 120 colmeias contaminadas e que a progressão se manteve constante, o número de colmeias afetadas ao final da quarta semana será:
Alternativa D.
Sabemos que q = 1,5, que n = 4 e que o primeiro termo (a1) =120, então:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \\ a_4 = 120 \cdot 1{,}5^{4 - 1} \\ a_4 = 120 \cdot 1{,}5^3 \\ a_4 = 120 \cdot 3{,}375 \\ a_4 = 405 \)
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Questão 5
A sequência (5, −15, 45, −135, ...) forma uma progressão geométrica. O sexto termo dessa progressão é:
Alternativa D.
Primeiro calcularemos a razão:
\(q = \frac{-15}{5} = -3 \\ a_7 = 5 \cdot (-3)^{7 - 1} \\ a_7 = 5 \cdot (-3)^6 \\ a_7 = 5 \cdot 729 \\ a_7 = 3645 \)
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Questão 6
Considere a sequência (2, 6, 18, 54, ...), que é uma progressão geométrica. O quinto termo dessa progressão é:
Alternativa E.
Calculando a razão, temos que:
\(q = \frac{6}{2} = 3\)
Como a1=2, então:
\(a_5 = 2 \cdot 3^{5 - 1} \\ a_5 = 2 \cdot 3^4 \\ a_5 = 2 \cdot 81 \\ a_5 = 162 \)
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Questão 7
Dada a progressão geométrica (3, 6, 12, 24, 48, ...), a soma dos 9 primeiros termos dessa progressão é:
Alternativa E.
Dados:
\(q = \frac{6}{3} = 2\\ a_1 = 3 \\ n = 9\)
Calculando a soma:
\(S_9 = 3 \cdot \frac{2^9 - 1}{2 - 1} \\ S_9 = 3 \cdot \frac{512 - 1}{1} \\ S_9 = 3 \cdot 511 \\ S_9 = 1533 \)
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Questão 8
Considere a sequência (5,10, 20, 40, 80,… ). Podemos afirmar que essa sequência é uma progressão geométrica cujo:
Alternativa C.
Temos que:
\(q=\frac{10}{5}=2 \)
E sabemos que:
a1 = 5
Logo, a1 = 5 e q = 2.
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Questão 9
Em uma indústria de eletrônicos, foram produzidos 150 aparelhos no mês de março. Em julho do mesmo ano, a produção atingiu 2.400 aparelhos. Sabendo que a quantidade de aparelhos produzidos de março a julho forma uma progressão geométrica crescente, a produção de aparelhos no mês de maio foi de:
Alternativa A.
Sabemos que:
an = a1 · qn-1
Para n = 5
a5 = a1 · q4
Substituindo os valores:
\(2400 = 150 \cdot q^4 \\ \frac{2400}{150} = q^4 \\ 16 = q^4 \\ q = \sqrt[4]{16} \\ q = 2 \)
Sabendo que a razão é 2, calcularemos o 3º termo:
\(a_3 = 150 \cdot 2^2 \\ a_3 = 150 \cdot 4 \\ a_3 = 600 \)
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Questão 10
Sobre uma progressão geométrica (PG) crescente, assinale a alternativa correta:
Alternativa C.
A PG é crescente quando a sua razão é um número maior que 1 e quando seu primeiro termo é um número positivo.
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Questão 11
Uma empresa lançou um serviço de entregas por aplicativo, e o número de usuários ativos triplica a cada semana. Na primeira semana, o serviço teve 200 usuários. Mantendo esse ritmo de crescimento, quantos usuários ativos haverá na terceira semana?
Alternativa C.
Sabemos que:
\(a_1=200\\ q= 3\\ n=3 \)
Então temos que:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ a_3=200\cdot3^2\\ a_3=200\cdot9\\ a_3=1800 \)
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Questão 12
Analise as sequências abaixo e identifique qual delas representa uma progressão geométrica.
Alternativa B.
Analisando as alternativas, temos que:
Na alternativa A, temos uma sequência em que o próximo termo é igual ao anterior +3, logo temos uma PA de razão 3.
Na alternativa B, temos que uma PG de razão \(\frac{1}{3}\), pois o próximo termo é sempre a terça parte do anterior, o que faz essa ser a alternativa correta.
Na alternativa C, temos uma sequência com os quadrados perfeitos 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 e assim sucessivamente, logo ela não é uma PG.
Na alternativa D, temos uma PA de razão +7.
Na alternativa E, a sequência não é uma progressão.
Sendo assim, a única alternativa que contém uma PG é a alternativa B.