Exercícios sobre progressão aritmética
Durante o estudo sobre a reprodução de determinada espécie, constatou-se que o número de indivíduos a cada mês era dado pela progressão aritmética:
\(a_n=2+\left(n-1\right)5\)
Em que n é o tempo em meses.
Se esse ritmo de reprodução for mantido, então, o número de indivíduos que teremos após 1 ano será:
A) 55
B) 57
C) 62
D) 65
E) 68
Alternativa B
O número de indivíduos em 1 ano é o termo \(a_{12}\), pois 1 ano possui 12 meses. Então temos que:
\(a_{12}=2+\left(12-1\right)\cdot5\)
\(a_{12}=2+11\cdot5\)
\(a_{12}=2+55\)
\(a_{12}=57\)
Analise as sequências a seguir:
\(A:\left(1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\ldots\right)\)
\(B:\left(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32\ldots\right)\)
\(C:\left(5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13\ldots\right)\)
\(D:\left(12,\ 10,\ 8,\ 6,\ 4,\ 2,\ 0\ldots\right)\)
Qual dessas sequências pode ser considerada uma progressão aritmética de razão 2.
A) A
B) B
C) C
D) D
E) Nenhuma das alternativas
Alternativa C
Analisando as sequências, podemos verificar que a única que é uma progressão aritmética que possui razão igual a 2 é a sequência C, pois, de um termo para o seu antecessor, a diferença é sempre igual a 2.
O número de seguidores de um canal do YouTube, após esse canal atingir 200 seguidores, começou a aumentar semanalmente como uma progressão aritmética de razão 80. Então o número de seguidores que esse canal terá após 6 semanas é:
A) 286
B) 480
C) 500
D) 560
E) 600
Alternativa E
Podemos descrever a situação pela progressão:
\(a_n=200+\left(n-1\right)80\)
Calculando com n = 6, temos que:
\(a_6=200+\left(6-1\right)\cdot80\)
\(a_6=200+5\cdot80\)
\(a_6=200+400\)
\(a_6=600\)
Uma progressão aritmética possui valor inicial igual a -3 e razão igual a 3. A alternativa que possui a fórmula do termo geral dessa progressão é:
A) 3n
B) 3n – 2
C) 3n – 3
D) 3n – 6
E) 6n – 3
Alternativa D
Calculando o termo geral dessa progressão:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)r\)
\(a_n=-3+\left(n-1\right)3\)
\(a_n=-3+3n-3\)
\(a_n=3n-6\)
Se a sequência \(\left(x,\ 2x+2,\ 4x+1\ldots\right)\) é uma progressão aritmética, então o valor de x é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Alternativa B
Se x é o primeiro termo, então temos que:
x + r = 2x + 2
2x + 2 + r = 4x + 1
Logo, temos que:
r = 2x + 2 – x
r = x + 2
Substituindo r na segunda equação, temos que:
2x + 2 + r = 4x + 1
r = x + 2
2x + 2 + x + 2 = 4x + 1
3x + 4 = 4x + 1
4 – 1 = 4x – 3x
3 = x
Então temos que x = 3.
Analisando a sequência a seguir:
\(\left(-3,-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6\ldots\right)\)
Podemos afirmar que:
A) Essa sequência é uma progressão geométrica de razão 2.
B) Essa sequência é uma progressão geométrica de razão -2.
C) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão 2.
D) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão -2.
E) Essa sequência não é uma progressão, nem geométrica nem aritmética.
Alternativa C
Podemos perceber que a diferença de um termo pelo seu termo anterior é 2, por exemplo: 6 – 4 = 2.
Então essa sequência é uma PA de razão 2.
A soma dos 18 primeiros termos da progressão aritmética (16, 12, 8, 4, 0 ...) é igual a:
A) -104
B) -129
C) -230
D) -324
E) -412
Alternativa D
A soma dos termos de uma PA é dada pela fórmula:
\(S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}\)
Primeiro calcularemos o termo a18.
Note que a razão dessa PA é -4, pois 12 – 16 = -4.
Então temos que:
\(a_{18}=a_1+\left(n-1\right)r\)
\(a_{18}=16+\left(18-1\right)\left(-4\right)\)
\(a_{18}=16+17\cdot\left(-4\right)\)
\(a_{18}=16-68\)
\(a_{18}=-52\)
Substituindo na fórmula da soma geral, temos que:
\(S_{18}=\frac{\left(16+\left(-52\right)\right)\cdot18}{2}\)
\(S_{18}=\frac{\left(16-52\right)\cdot18}{2}\)
\(S_{18}=\frac{-36\cdot18}{2}\)
\(S_{18}=-36\cdot9\)
\(S_{18}=-324\)
Qual é a razão da progressão aritmética, sabendo que \(a_{16}=48\) e que \(a_{10}=36\)?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Alternativa B
Sabemos que:
\(a_{16}=a_1+\left(16-1\right)r\ \)
\(48=a_1+15r\)
\(48-15r=a_1\)
Também sabemos que:
\(a_{10}=a_1+\left(10-1\right)r\)
\(36=a_1+9r\)
\(36-9r=a_1\)
Igualando as duas equações, temos que:
\(36-9r=48-15r\)
\(15r-9r=48-36\)
\(6r=12\)
\(r=\frac{12}{6}\)
\(r=2\)
(Enem) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade que cartas que forma o montante é:
A) 21
B) 24
C) 26
D) 28
E) 31
Alternativa B
As cartas são organizadas em uma PA de razão 1, ou seja:
\(\left(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\right)\)
Calculando a soma dessa PA, temos que:
\(S_7=\frac{\left(7+1\right)\cdot7}{2}\)
\(S_7=\frac{8\cdot7}{2}\)
\(S_7=4\cdot7\)
\(S_7=28\)
Se há 28 cartas, então restarão 52 – 28 = 24.
(Enem) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
A) 40
B) 60
C) 100
D) 115
E) 120
Alternativa D
Sabemos que a sequência de João é:
\(\left(1,\ 3,\ 5,\ 7\ldots\right)\), ou seja, uma PA de razão 2.
Sabemos que a sequência de Pedro é:
\(\left(1,\ 4,\ 7,\ 10\ldots\right)\), ou seja, uma PA de razão 3.
Logo, a sequência dos andares que coincidem é:
\(\left(1,\ 7,\ 13,\ 20\ldots\right)\), ou seja, uma PA de razão 6.
Queremos achar o valor de a20 da sequência dos andares que coincidem, então temos que:
\(a_{20}=1+\left(20-1\right)6\)
\(a_{20}=1+19\cdot6\)
\(a_{20}=1+114\)
\(a_{20}=115\)
Então há 115 andares.
(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$8000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
A) R$512.000.
B) R$520.000.
C) R$528.000.
D) R$552.000.
E) R$584.000.
Alternativa C
Sabemos que:
\(a_n=a_1+\left(n-1\right)r\)
\(1380=80+\left(n-1\right)\cdot20\)
\(1380-80=20n-20\)
\(1300+20=20n\)
\(1320=20n\ \)
\(\frac{1320}{20}=n\)
\(n=66\)
Agora sabendo que cada poste custa 8000, então o custo será de 66 ⋅ 8000 = R$528.000.
A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 30. Se o primeiro termo dessa progressão é 2 então o quinto termo é igual a:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Alternativa C
Sabemos que:
\(S_5=\frac{\left(2+a_5\right)\cdot5}{2}\)
\(30=\frac{10+5a_5}{2}\)
\(30\cdot2=10+5a_5\)
\(60=10+5a_5\)
\(60-10=5a_5\)
\(50=5a_5\)
\(\frac{50}{5}=a_5\)
\(10=a_5\)
