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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre progressão aritmética

Exercícios sobre progressão aritmética

Esta lista de exercícios sobre progressão aritmética é composta de questões resolvidas que auxiliarão você em seus estudos sobre esse tipo de progressão. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

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Questão 1

Durante o estudo sobre a reprodução de determinada espécie, constatou-se que o número de indivíduos a cada mês era dado pela progressão aritmética:

$a_n=2+\left(n-1\right)5$

Em que n é o tempo em meses.

Se esse ritmo de reprodução for mantido, então, o número de indivíduos que teremos após 1 ano será:

A) 55

B) 57

C) 62

D) 65

E) 68

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Resposta

Alternativa B

O número de indivíduos em 1 ano é o termo $a_{12}$ , pois 1 ano possui 12 meses. Então temos que:

$a_{12}=2+\left(12-1\right)\cdot5$

$a_{12}=2+11\cdot5$

$a_{12}=2+55$

$a_{12}=57$

Questão 2

Analise as sequências a seguir:

$A:\left(1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\ldots\right)$

$B:\left(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32\ldots\right)$

$C:\left(5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13\ldots\right)$

$D:\left(12,\ 10,\ 8,\ 6,\ 4,\ 2,\ 0\ldots\right)$

Qual dessas sequências pode ser considerada uma progressão aritmética de razão 2.

A) A

B) B

C) C

D) D

E) Nenhuma das alternativas

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Resposta

Alternativa C

Analisando as sequências, podemos verificar que a única que é uma progressão aritmética que possui razão igual a 2 é a sequência C, pois, de um termo para o seu antecessor, a diferença é sempre igual a 2.

Questão 3

O número de seguidores de um canal do YouTube, após esse canal atingir 200 seguidores, começou a aumentar semanalmente como uma progressão aritmética de razão 80. Então o número de seguidores que esse canal terá após 6 semanas é:

A) 286

B) 480

C) 500

D) 560

E) 600

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Resposta

Alternativa E

Podemos descrever a situação pela progressão:

$a_n=200+\left(n-1\right)80$

Calculando com n = 6, temos que:

$a_6=200+\left(6-1\right)\cdot80$

$a_6=200+5\cdot80$

$a_6=200+400$

$a_6=600$

Questão 4

Uma progressão aritmética possui valor inicial igual a -3 e razão igual a 3. A alternativa que possui a fórmula do termo geral dessa progressão é:

A) 3n

B) 3n – 2

C) 3n – 3

D) 3n – 6

E) 6n – 3

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Resposta

Alternativa D

Calculando o termo geral dessa progressão:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$a_n=-3+\left(n-1\right)3$

$a_n=-3+3n-3$

$a_n=3n-6$

Questão 5

Se a sequência $\left(x,\ 2x+2,\ 4x+1\ldots\right)$ é uma progressão aritmética, então o valor de x é:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

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Resposta

Alternativa B

Se x é o primeiro termo, então temos que:

x + r = 2x + 2

2x + 2 + r = 4x + 1

Logo, temos que:

r = 2x + 2 – x

r = x + 2

Substituindo r na segunda equação, temos que:

2x + 2 + r = 4x + 1

r = x + 2

2x + 2 + x + 2 = 4x + 1

3x + 4 = 4x + 1

4 – 1 = 4x – 3x

3 = x

Então temos que x = 3.

Questão 6

Analisando a sequência a seguir:

$\left(-3,-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6\ldots\right)$

Podemos afirmar que:

A) Essa sequência é uma progressão geométrica de razão 2.

B) Essa sequência é uma progressão geométrica de razão -2.

C) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão 2.

D) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão -2.

E) Essa sequência não é uma progressão, nem geométrica nem aritmética.

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Resposta

Alternativa C

Podemos perceber que a diferença de um termo pelo seu termo anterior é 2, por exemplo: 6 – 4 = 2.

Então essa sequência é uma PA de razão 2.

Questão 7

A soma dos 18 primeiros termos da progressão aritmética (16, 12, 8, 4, 0 ...) é igual a:

A) -104

B) -129

C) -230

D) -324

E) -412

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Resposta

Alternativa D

A soma dos termos de uma PA é dada pela fórmula:

$S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$

Primeiro calcularemos o termo a18.

Note que a razão dessa PA é -4, pois 12 – 16 = -4.

Então temos que:

$a_{18}=a_1+\left(n-1\right)r$

$a_{18}=16+\left(18-1\right)\left(-4\right)$

$a_{18}=16+17\cdot\left(-4\right)$

$a_{18}=16-68$

$a_{18}=-52$

Substituindo na fórmula da soma geral, temos que:

$S_{18}=\frac{\left(16+\left(-52\right)\right)\cdot18}{2}$

$S_{18}=\frac{\left(16-52\right)\cdot18}{2}$

$S_{18}=\frac{-36\cdot18}{2}$

$S_{18}=-36\cdot9$

$S_{18}=-324$

Questão 8

Qual é a razão da progressão aritmética, sabendo que $a_{16}=48$ e que $a_{10}=36$ ?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

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Resposta

Alternativa B

Sabemos que:

$a_{16}=a_1+\left(16-1\right)r\$

$48=a_1+15r$

$48-15r=a_1$

Também sabemos que:

$a_{10}=a_1+\left(10-1\right)r$

$36=a_1+9r$

$36-9r=a_1$

Igualando as duas equações, temos que:

$36-9r=48-15r$

$15r-9r=48-36$

$6r=12$

$r=\frac{12}{6}$

$r=2$

Questão 9

(Enem) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.

A quantidade que cartas que forma o montante é:

A) 21

B) 24

C) 26

D) 28

E) 31

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Resposta

Alternativa B

As cartas são organizadas em uma PA de razão 1, ou seja:

$\left(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\right)$

Calculando a soma dessa PA, temos que:

$S_7=\frac{\left(7+1\right)\cdot7}{2}$

$S_7=\frac{8\cdot7}{2}$

$S_7=4\cdot7$

$S_7=28$

Se há 28 cartas, então restarão 52 – 28 = 24.

Questão 10

(Enem) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

A) 40

B) 60

C) 100

D) 115

E) 120

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Resposta

Alternativa D

Sabemos que a sequência de João é:

$\left(1,\ 3,\ 5,\ 7\ldots\right)$ , ou seja, uma PA de razão 2.

Sabemos que a sequência de Pedro é:

$\left(1,\ 4,\ 7,\ 10\ldots\right)$ , ou seja, uma PA de razão 3.

Logo, a sequência dos andares que coincidem é:

$\left(1,\ 7,\ 13,\ 20\ldots\right)$ , ou seja, uma PA de razão 6.

Queremos achar o valor de a20 da sequência dos andares que coincidem, então temos que:

$a_{20}=1+\left(20-1\right)6$

$a_{20}=1+19\cdot6$

$a_{20}=1+114$

$a_{20}=115$

Então há 115 andares.

Questão 11

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1380 metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$8000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é

A) R$512.000.

B) R$520.000.

C) R$528.000.

D) R$552.000.

E) R$584.000.

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Resposta

Alternativa C

Sabemos que:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$1380=80+\left(n-1\right)\cdot20$