Exercícios sobre Soma de uma PG Finita
(Vunesp) Dado x0 = 1, uma sequência de números x1, x2, x3, … satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro n ≥ 1, em que a é uma constante não nula.
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa sequência.
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + … + x8.
Nesse exercício, estamos lidando com uma progressão geométrica (PG) de razão q = a, de modo que a PG pode ser expressa como: (ax0, ax1, ax2, …), em que o a1 = ax0, a2 = ax1, …, lembrando que x0 = 1.
a) Se a razão a é 2, podemos identificar o primeiro termo da progressão:
a1 = ax0
a1 = 2.1
a1 = 2
Agora que identificamos o primeiro termo da sequência, podemos identificar o a11 utilizando a fórmula do termo geral:
an = a1 . qn – 1
a11 = 2 . 211 – 1
a11 = 2 . 210
a11 = 211
a11 = 2048
O décimo primeiro termo dessa sequência é o número 2048.
b) Se a razão a é 3, vamos procurar o primeiro termo da progressão:
a1 = ax0
a1 = 3.1
a1 = 3
Sendo conhecido o primeiro termo da progressão, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:
Sn = a1 . 1 – qn
1 – 3
S8 = 3 . (– 6560)
(-2)
S8 = – 19680
– 2
S8= 9840
Portanto, a soma dos oito termos da progressão é 9840.
(UFAM) Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 14 e seu produto é 64, então sendo a, b e c os três primeiros termos, o valor de a + b2 + c3 é igual a:
a) 14
b) 64
c) 16
d) 08
e) 32
Podemos escrever essa progressão geométrica da seguinte forma: (x/q, x, x.q). Visto que é uma progressão em que desconhecemos os termos, mas sabemos que q < 1, pois a PG é decrescente, se multiplicarmos esses termos da PG, encontraremos o valor 64. Façamos essa soma:
x . x . xq = 64
q
x3 = 64
x = 4
Façamos agora a soma dos três termos da PG, que deve resultar em 14:
x + x + xq = 14
q
x + xq + xq² = 14
q
x + xq + xq² = 14q
Sabendo que x = 4, podemos substituir esse valor de x na equação:
x + xq + xq² = 14q
4 + 4q + 4q² = 14q
4q² – 10q + 4 = 0
2q² – 5q + 2 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (– 5)2 – 4.2.2
∆ = 25 – 16
∆ = 9
q = – b ± √∆
2.a
q = – (– 5) ± √9
2.2
q = 5 ± 3
4
q1 = 5 + 3 q2 = 5 – 3
4 4
q1 = 2 q2 = ½
Encontramos dois possíveis valores para a razão. Mas como a PG é decrescente, a razão deve ser menor que um, portanto, o único valor que é interessante para esse exercício é a razão q2 = ½. Lembrando que o valor de x é 4, vamos identificar os três termos dessa PG:
a = x = 4 = 8
q ½
b = x = 4
c = x.q = 4.½ = 2
Mas o exercício questionou acerca do valor da expressão a + b2 + c3, vamos resolvê-la então:
a + b2 + c3
8 + 42 + 23
8 + 16 + 8
32
Portanto, a + b2 + c3 = 32. A alternativa correta é a letra e.
Qual é a quantidade de elementos da PG finita (1, 2, 4, …), sabendo que a soma dos termos dessa PG é 1023?
Sabemos que o termo a1 vale 1 e facilmente podemos ver que a razão q é 2. Vamos então descobrir o número n de termos dessa sequência:
Sn = a1 . 1 – qn
1 – q
1023 = 1 . (1 – 2n)
1 – 2
1023 = 1 – 2n
– 1
– 1023 = 1 – 2n
– 1023 – 1 = – 2n
2n = 1024
2n = 210
n = 10
Essa PG finita possui dez elementos.
Uma fábrica de chocolates inaugurada em 2010 produziu 1000 ovos de páscoa nesse mesmo ano. Considerando que sua produção aumentou em 50% a cada ano, em 2015, o dono da fábrica poderá dizer que em toda a história da fábrica foram produzidos quantos ovos?
Se em 2010 a fábrica produziu 1000 ovos e em 2011 produziu 50% a mais, podemos afirmar que em 2011 foram produzidos:
1000 + 0,5.1000
1000 + 500
1500
Se a cada ano vemos o mesmo crescimento, temos então uma PG crescente, em que a1 = 1000 e a2 = 1500. Para encontrar a razão q, basta dividir a2 por a1:
q = 1500
1000
q = 1,5
Contando com a páscoa de 2015, nesse ano a fábrica terá registrado a produção de seis anos. Portanto, nossa PG terá 6 termos. Sabendo que a1 = 1000 e q = 1,5, temos:
Sn = a1 . 1 – qn
1 – q
S6 = 1000 . 1 – (1,5)6
1 – 1,5
S6 = 1000 . 1 – (3/2)6
– 0,5
S6 = 1000 . 1 – (729/64)6
– 0,5
S6 = 1000 . 1 – 11,390625
– 0,5
S6 = 1000 . – 10,390625
– 0,5
S6 = 1000 .20,78125
S6 = 20781,25
A empresa terá produzido aproximadamente 20.781 ovos de páscoa.
