Exercícios sobre tronco de cone

Esta lista de exercícios se volta para o tronco de cone, uma figura geométrica tridimensional que resulta da remoção de um cone menor de um cone maior. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
Questão 1

Determine o volume de um tronco de cone com raio da base inferior de 4 cm, raio da base superior de 2 cm e altura de 6 cm.

A) 12π cm3

B) 24π cm3

C) 36π cm3

D) 56π cm3

E) 64π cm3

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Alternativa D

O volume do tronco de cone é dado por:

\(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\) 

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos

\(V=π6\frac{(42+22+4⸳2)}3=2π16+4+8=56π cm3\) 

Questão 2

Calcule a área da superfície lateral de um tronco de cone com raio da base inferior de 7 cm, raio da base superior de 5 cm e geratriz de 10 cm.

A) 120π cm2

B) 160π cm2  

C) 200π cm2

D) 240π cm2

E) 320π cm2

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Alternativa A

A área da superfície lateral é dada por:

\(A=\pi g(r+R)\) 

Substituindo os valores dados pelo exercício na expressão acima, temos:

\(A=\pi10\left(5+7\right)=120{\pi cm}^2\) 

Questão 3

Encontre o raio da base superior de um tronco de cone com volume de 105π cm³, raio da base inferior de 6 cm e altura de 5 cm:

A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm

D) 5 cm

E) 6 cm

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Alternativa B

O volume do tronco de cone é dado por:

\(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\) 

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(105\pi=\frac{π5(62+r2+r⸳6)}3\) 

\(63=36{+r}^2+r⸳6\) 

\(r^2+6r-27=0\) 

As raízes dessa equação são -9 e 3.

Como raio é um valor positivo, temos que \(r=3\ cm\).

Questão 4

Um tronco de cone tem raio da base inferior de 10 cm, raio da base superior de 4 cm e altura de 8 cm. Calcule sua área total (incluindo as bases).

A) 100π cm2

B) 146π cm2

C) 256π cm2

D) 326π cm2

E) 360π cm2

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Alternativa C

  • A área da base superior é \(Ainferior=\pi4^2=16{\pi\ cm}^2\).
  • A área da base inferior é \(Asuperior=\pi{10}^2=100{\pi\ cm}^2\).
  • A geratriz é dada por \(g^2=h^2+{(R-r)}^2\).

\(g^2=8^2+{(10-4)}^2=64+36=100\) 

Logo, a geratriz tem 10 cm.

A área da superfície lateral é dada por \(A=\pi g(r+R)\).

Substituindo os valores encontrados e dados pelo exercício na expressão acima, temos:

\(A=\pi10\left(10+4\right)=140{\pi\ cm}^2\) 

Área total é a soma das áreas acima.

\(A_{total}=16\pi+100\pi+140\pi=256\pi\ {cm}^2\) 

Questão 5

Um tronco de cone é formado pela retirada de um cone menor de um cone maior. O cone maior tem raio da base de 8 cm e altura de 12 cm, enquanto o cone menor tem raio da base de 4 cm e altura de 6 cm. Calcule o volume do tronco de cone resultante.

A) 128π cm3

B) 224π cm3

C) 316π cm3

D) 356π cm3

E) 464π cm3

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Alternativa B

O volume do tronco de cone é dado por \(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

Sabemos que a altura do tronco de cone é dada pela diferença entre as alturas dos cones, logo essa altura é igual a \(h=12-6=6\ cm\).

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(V=\frac{π6(82+42+8⸳4)}3=2π64+16+32=224π cm3\) 

Questão 6

Se um tronco de cone tem área da superfície lateral de 260π cm², raio da base inferior de 4 cm e raio da base superior igual a 6 cm, encontre a altura do tronco de cone.

A) 18,7 cm

B) 25,98 cm

C) 27,4 cm

D) 23,3 cm

E) 29,5 cm

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Alternativa B

A área da superfície lateral é dada por \(A=\pi g(r+R)\).

Substituindo os valores encontrados e dados pelo exercício na expressão acima, temos:

\(260\pi=\pi g\left(4+6\right)\) 

Logo a geratriz tem 26 cm.

A geratriz é dada por \(g^2=h^2+{(R-r)}^2\):

\({26}^2=h^2+{(6-4)}^2\) 

\(676=h^2+4\) 

\(h^2=672\) 

\(h=\sqrt{672}\) 

\(h\approx25,98\)

Questão 7

Um tronco de cone tem raio da base superior igual a 8 cm, raio da base inferior igual a 4 cm e altura de 10 cm. Determine o volume desse tronco de cone. (Adote π=3)

A) 720 cm3

B) 620 cm3

C) 1520 cm3

D) 3360 cm3

E) 1120 cm3

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Alternativa E

O volume do tronco de cone é dado por \(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(V=\frac{3\cdot10(8^2+4^2+8\cdot4)}3=10(64+16+32)=1120 cm^3\) 

Questão 8

Se um tronco de cone tem volume de 150π cm³, raio da base inferior de 5 cm e altura de 8 cm, qual é o raio da base superior?

A) 2,4

B) 3,1

C) 3,6

D) 4,1

E) 5,3

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Alternativa C

O volume do tronco de cone é dado por \(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(150\pi=\frac{\pi8(r^2+5^2+r5)}{3}\) 

\(450=8r^2+200+40r\) 

\(8r^2+40r-250=0\) 

\(4r^2+20r-125=0\) 

As raízes dessa equação são aproximadamente 3,6 e -8,6.

Como raio é um valor positivo, temos que r=3,6 cm.

Questão 9

Em uma construção civil, um tronco de cone de 10 m de altura tem raio da base menor igual a 4 m e raio da base maior igual a 6 m. Sabendo que o concreto custa R$ 200 por metro cúbico, calcule o custo total para preencher o tronco de cone. (Adote π=3)

A) R$ 120.000,00

B) R$ 144.000,00

C) R$ 152.000,00

D) R$ 172.000,00

E) R$ 192.000,00

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Alternativa C

O volume do tronco de cone é dado por \(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(V=\frac{3⸳10(62+42+6⸳4)}3=1036+16+24=760 m3\) 

Logo, o custo total é \(760\cdot200=R$\ 152.000,00\).

Questão 10

Uma vela foi moldada na forma de um tronco de cone, com altura de 12 cm, raio da base menor de 2 cm e raio da base maior de 6 cm. Sabendo que essa vela derrete a uma razão de 2 cm3 por minuto, determine o tempo para ela estar completamente derretida. (Adote π=3)

A) 3 horas e 10 minutos

B) 4 horas e 12 minutos

C) 5 horas e 12 minutos

D) 6 horas e 10 minutos

E) 7 horas e 21 minutos

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Alternativa C

O volume do tronco de cone é dado por \(V=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

Substituindo os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\(V=\frac{3⸳12(62+22+6⸳2)}3=12(36+4+12)=624 cm^3\) 

Logo, o tempo gasto é de \(t=\frac{624}{2}=312\ minutos=5\ horas\ e\ 12\ minutos\).

Questão 11

Um tronco de cone tem altura de 9 cm, e a diferença entre os raios da base maior e menor é de 12 cm. Se a área da superfície lateral desse tronco é de 540π cm², encontre o raio da base maior.

A) 15 cm

B) 17 cm

C) 24 cm

D) 27 cm

E) 30 cm

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Alternativa C

A área da superfície lateral é dada por \(A=\pi g(r+R)\):

\(540\pi=\pi g(r+R)\) 

\(540=g(r+R)\) 

O enunciado afirmou que \(R=r+12\), então substituindo temos que \(540=g(2r+12)\).

Sabemos que \(g^2=h^2+{(R-r)}^2\):

\(g^2=9^2+{(12)}^2=225\) 

\(g=\sqrt{225}=15\ cm\) 

\(Logo\ 540=15\left(2r+12\right)\) 

\(540=30r+180\) 

\(r=12\ cm\) 

Logo, \(R=12+12=24\ cm\).

Questão 12

As figuras 1 e 2 são semelhantes. O volume da Figura 1 é 20 litros, e o raio de sua base menor é metade do raio da base menor da Figura 2. Determine o volume da Figura 2.  

Dois exemplos de tronco de cone, um maior que o outro.

A) 10 litros

B) 40 litros

C) 80 litros

D) 160 litros

E) 320 litros

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Alternativa D

A figura 1 possui volume igual a \( V1=\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}\).

A figura 2 possui volume igual a \(V1=\frac{\pi2h((2{R)}^2+\left(2r\right)^2+2r2R)}{3}=8\frac{\pi h(R^2+r^2+rR)}{3}=8⸳20=160 litros\).

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