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Exercícios sobre a soma dos termos de uma progressão aritmética

Exercícios de Matemática

Estes exercícios testarão suas habilidades para resolver problemas que envolvam a soma dos termos de uma progressão aritmética. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)?

a) 205

b) 3105

c) 6210

d) 207

e) 203

questão 2

Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?

a) 249980

b) 1010

c) 249975

d) 499950

e) 999

questão 3

Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 25º elemento?

a) 245

b) 12250

c) 13250

d) 255

e) 10

questão 4

Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100?

a) 5050

b) 10100

c) 1010

d) 50500

e) 8080

respostas
Questão 1

A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada por:

S = n(a1 + an)
      2

Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:

an = a1 + (n – 1)r

a30 = 2 + (30 – 1)7

a30 = 2 + (29)7

a30 = 2 + 203

a30 = 205

Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:

S = n(a1 + an)
      2

S = 30(2 + 205)
       2

S = 30(207)
      2

S = 6210
     2

S = 3105

Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105.

Gabarito: letra B.

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Questão 2

Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta saber o primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números ímpares no intervalo. Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o último número ímpar antes de 1000 é 999.

Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na sequência. Note apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para que esse cálculo dê certo, ignoraremos um deles.

Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.

Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos:

S = n(a1 + an)
       2

S = 495(11 + 999)
      2

S = 495(1010)
      2

S = 495(1010)
      2

S = 499950
      2

S = 249975

A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975.

Gabarito: letra C.

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Questão 3

Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso usando a fórmula do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula para a soma dos termos da PA, pois essa soma depende desses termos. Observe:

an = a1 + (n – 1)r

a50 = a1 + (50 – 1)5

a50 = a1 + (49)5

a50 = a1 + 245

Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a50 por a1 + 245 e S por 6625:

S = n(a1 + an)
     2

S = 50(a1 + a50)
      2

6625 = 50(a1 + a1 + 245)
         2

2·6625 = 50(2a1 + 245)

13250 = 100a1 + 12250

13250 – 12250 = 100a1

1000 = 100a1

a1 = 10

Conhecendo o valor de a1, podemos descobrir a50 voltando à fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n – 1)r

a50 = a1 + (50 – 1)5

a50 = a1 + (49)5

a50 = a1 + 245

a50 = 10 + 245

a50 = 255

Gabarito: letra D.

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Questão 4

Esse problema é o que deu origem à fórmula da soma dos termos de uma PA. Para calcular essa soma, já sabemos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e que são exatamente 100 termos. Portanto, podemos escrever:

S = n(a1 + an)
     2

S = 100(1 + 100)
      2

S = 100(101)
      2

S = 10100
      2

S = 5050

Gabarito: letra A.

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