Exercícios sobre Arranjo ou Combinação
Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) – Minas Gerais
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição.
Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é importante ou não. Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos.
Sendo assim, teremos a seguinte situação.
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Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2 + A8,2 + A8,2 = 3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do número 6 nesta senha.
Com isso teremos que as tentativas deveriam ser:
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Universidade Estadual do Rio de Janeiro (EU-RJ)
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.
Combinação do pão x Combinação do tamanho x Combinaçaõ do Recheio
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A questão (a) quer saber quantas maneiras diferentes o cliente pode montar o seu sanduíche, as escolhas do pão e do tamanho se restringem a apenas uma possibilidade, entretanto, no recheio o cliente pode escolher quantos itens deseja colocar, resultando em 5 possibilidades, cada uma com uma combinação diferente.
a)
Somando as possibilidades dos 5 casos, teremos um total de 186 possibilidades para que os clientes montem seus sanduíches.
b)
Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação.
Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
Este cliente terá 20 opções de sanduíche à sua escolha.
Universidade Federal de Juiz de Fora – Minas Gerais
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?
Novamente trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de 15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
C(m,2) = 15, onde m = quantidade de ministros
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Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos encontrar o valor de m.
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Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o seguinte conjunto solução. S={m=6 ou m=-5}
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Se Júlia leva o sapato preto e o sapato rosa, é a mesma coisa que ela levar o sapato rosa e o sapato preto, logo, a sequência dos elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para eliminarmos os arranjos repetidos.
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
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