Exercícios sobre bissetriz

Alternativa D

O segmento de reta que divide o ângulo em duas partes iguais é conhecido como bissetriz do ângulo.

Alternativa E

Sabemos que o ângulo AOC é composto pelos ângulos AOB e BOC, que são congruentes:

$4x-6=3x+3\ $

$4x-3x=3+6$

$x=9$

Sabendo que x = 9:

$4x-6=4\ \cdot9-6=36-6=30°$

Como metade do ângulo AOC mede 30°, o ângulo AOC mede 60°.

Alternativa D

Igualando os ângulos:

$5x-10=3x+8$

$5x-3x=10+8$

$2x=18$

$x=\frac{18}{2}$

$x=9$

Alternativa B

A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, ou seja, com a mesma medida.

Alternativa B

Sabendo que os ângulos BAD e DAC são complementares, a soma deles é igual a 90°. Por outro lado, AD é bissetriz do ângulo BAC, então concluímos que BAD = DAC = 45°.

Temos o seguinte:

$2x+9=45\ $

$2x=45-9\ $

$2x=36$

$x=\frac{36}{2}$

$x=18$

Calculando o valor de y:

$3y+15=45$

$3y=45-15\ $

$3y=30\ $

$y=\frac{30}{3}$

$y=10\ $

A soma $x+y=18+10=28°$

Alternativa D

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360°, então temos:

76 + 128 + 2x + 2y = 360

x + y = 78

A soma dos ângulos internos do triângulo XOY é igual a 180°, logo:

x + y + o = 180°

78 + o = 180°

o = 180° - 78°

o = 102°

O ângulo XÔY mede, portanto, 102°.

Alternativa C

A bissetriz divide os ângulos em duas partes iguais. Sendo assim, 140 : 2 = 70°. Logo, o ângulo formado pela bissetriz é de 70°.

Alternativa C

Como AB é bissetriz:

$8x-29=5x+7$

$8x-5x=7+29$

$3x=36$

$x=\frac{36}{3}$

$x=12$

Sabendo que x = 12, encontraremos o valor do ângulo DAB:

$DAB=5x+7$

$DAB=5\cdot12+7$

$DAB=60+7\ $

$DAB=67°$

Alternativa C

Se que OB é a bissetriz, o ângulo AOB é também de 35°. Logo, o ângulo AOC é de 70°. Sendo assim, o suplementar desse ângulo é calculado por 180° - 70° = 110°. Portanto, o suplementar do ângulo AOC mede 110°.

Alternativa E

Sabemos que o ângulo BAC mede 80° e que ele foi dividido ao meio quando traçada a bissetriz AD, formando o ângulo BAD, medindo 40°, e o ângulo DAC, medindo também 40°. Porém, o ângulo DAC foi divido ao meio novamente, formando dois ângulos de 20°, sendo um deles o ângulo DAE.

O ângulo BAE é igual à soma da medida dos ângulos BAD + DAE, ou seja 40° + 20° = 60°.

Alternativa D

Podemos perceber que todos os segmentos ao qual o ponto I pertence são bissetrizes do vértice. Logo, o incentro é igual ao encontro das bissetrizes do triângulo.

Alternativa D

Pelo teorema da bissetriz interna, temos que:

$\frac{2x}{8}=\frac{3x-1,5}{10}$

$20x=8\cdot\left(3x-1,5\right)$

$20x=24x-12$

$12=24x-20$

$12=4x$

$\frac{12}{4}=x$

$x=3$

Sabendo que x = 3, o segmento AB mede:

$AB=2x+3x\ -1,5$

$AB=5x-1,5\ $

$AB=5\ \cdot3-1,5\ $

$AB=15-1,5\ $

$AB=13,5$