Exercícios sobre distância entre dois pontos
Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que suas coordenadas são A (2,5) e B (– 5, – 2).
dAB = √[(– 5 – 2)2 + (– 2 – 5)2]
dAB = √[(– 7)2 + (– 7)2]
dAB = √(49 + 49)
dAB = √98
dAB ≈ 10
Calcule o valor da coordenada x do ponto A (x,2) sabendo que a distância entre A e B (4,8) é 10.
dAB = √[(4 – x)2 + (8 – 2)2] = 10
√[(4 – x)2 + (6)2] = 10
√[(4 – x)2 + 36] = 10
Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos:
(4 – x)2 + 36 = 102
16 – 8x + x2 + 36 = 100
Observe que já existe um trinômio quadrado perfeito, o que possibilita a utilização do método de completar quadrados para resolver essa equação do segundo grau.
16 – 8x + x2 = 100 – 36
(x – 4)2 = 64
Fazendo a raiz quadrada de ambos os termos, teremos:
x – 4 = ± 6
x = 6 + 4 ou x = – 6 – 4
x = 10 ou x = – 12
Portanto, ou a coordenada x = 10 ou a coordenada x = – 12
(UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3
Qualquer ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, terá coordenadas P = (x, 0). A distância entre P e A é igual à distância entre P e B, pois P é equidistante dos pontos A e B. Logo, podemos escrever:
dPA = dPB
√[(x – 1)2 + (0 – 4)2] = √[(x – (– 6))2 + (0 – 3)2]
Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos:
(x – 1)2 + (0 – 4)2= (x – (– 6))2 + (0 – 3)2
Utilizando o quadrado da diferença e quadrado da soma, teremos:
(x – 1)2 + 16 = (x + 6)2 + 9
x2 – 2x + 1 + 16 = x2 + 12x + 36 + 9
Agora, basta reorganizar os termos e realizar os cálculos:
x2 – 2x – x2 – 12x = 36 + 9 – 16 – 1
– 14x = 28
x = 28
– 14
x = – 2
Logo, o valor da abscissa do ponto P é – 2. Gabarito A.
(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é:
a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12
Utilizando a fórmula para o cálculo da distância entre A e B, teremos:
DAB = √[(6 - (- 2))2+(7 – y)2] = 10
√[(6 + 2)2+(7 – y)2] = 10
√[(8)2+(7 – y)2] = 10
Elevando os dois membros da equação ao quadrado e simplificando os termos, teremos:
64+(7 – y)2 = 102
64 + 49 – 14y + y2 = 100
64 + 49 – 14y + y2 = 100
113 – 14y + y2 = 100
113 – 100 – 14y + y2 = 0
y2 – 14y + 13 = 0
Utilizando o método de completar quadrados para solução dessa equação, teremos:
y2 – 14y + 49 = 49 – 13
(y – 7)2 = 36
y – 7 = ± 6
y = + 6 + 7 = 13
y = – 6 + 7 = 1
Logo, o valor de y é 1 ou 13. Gabarito C.
