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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre função bijetora

Exercícios sobre função bijetora

Resolva esta lista de exercícios sobre função bijetora e teste seus conhecimentos sobre a função que é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

Questões

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Questão 1

Uma função é classificada como bijetora se:
Alternativa D

A função é bijetora se ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.
Questão 2

Dada a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e lei de formação f(x) = 3x + 1, julgue as afirmativas a seguir:

I. A função f(x) é injetora.

II. A função f(x) é sobrejetora.

III. A função f(x) é bijetora.

Marque a alternativa correta:
Alternativa E

I. A função f(x) é injetora. (Verdadeiro)

Sabemos que essa função é injetora, pois valores diferentes possuem imagens diferentes.

II. A função f(x) é sobrejetora. (Verdadeiro)

A função também é sobrejetora, pois o contradomínio é o conjunto dos números reais, o conjunto imagem. Como o gráfico é uma reta, a imagem é igual ao contradomínio.

III. A função f(x) é bijetora. (Verdadeiro)

Como a função é sobrejetora e injetora, podemos concluir que ela é bijetora.
Questão 3

A função f: A→B é a função tal que \(f(x_1,x_2 )\) = x1+x2. Seja A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, podemos afirmar que essa função é:
Alternativa B

Primeiro verificaremos se a função é injetora:

Sabemos que \(f(0,1)=0+1=1\) e que \(f(-1,2)=1\), logo, essa função não é injetora.

Agora verificaremos se a função é sobrejetora:

\(f(-1,0)=f(0,-1)=-1\)

\(f(1,0)=f(0,1)=1\)

\(f(2,0)=f(0,2)=2\)

\(f(-1,1)=f(1,-1)=0\)

\(f(-1,2)=f(2,-1)=1\)

\(f(1,0)=f(0,1)=1\)

\(f(1,2)=f(2,1)=3\)

Note que o contradomínio é igual à imagem da função, então essa função é sobrejetora. Como a função não é injetora, podemos afirmar que ela não é bijetora, pois é sobrejetora, mas não injetora.
Questão 4

Durante a aula de matemática, o professor construiu um diagrama para que os estudantes analisassem se a relação se tratava de uma função ou não:

Após análise dos estudantes, o professor fez três afirmativas:

I. Essa relação é uma função.

II. Essa relação não é uma função bijetora.

III. Essa relação não é uma função injetora.

Utilizando V para verdadeiro e F para falso, as afirmativas I, II e III são, respectivamente:
Alternativa A

I. Essa relação é uma função. (Verdadeiro)

Note que para todo elemento de A existe um correspondente em B, logo, essa relação descreve uma função.

II. Essa relação não é uma função bijetora. (Verdadeiro)

De fato, essa relação não é uma bijeção, pois há um elemento no conjunto B que possui dois correspondentes em A.

III. Essa relação não é uma função injetora. (Verdadeiro)

Podemos perceber que \(f(2)=f(-2)\), o que faz com que a função não seja injetora.
Questão 5

Nos diagramas a seguir, há uma relação entre o conjunto A e o conjunto B.

Sobre essa relação, podemos afirmar que:
Alternativa C

Podemos observar que elementos distintos do conjunto A possuem imagem distinta, logo, essa função é injetora. A função também é sobrejetora, pois todos os elementos do conjunto B são correspondentes de, pelo menos, um elemento no conjunto A, como a função é sobrejetora e injetora, então ela é bijetora.
Questão 6

Uma função admite inversa quando
Alternativa D

Uma função admite função inversa se for bijetora.
Questão 7

Analise o gráfico da função a seguir:

Se os números reais forem o domínio dessa função, e os números reais negativos forem o contradomínio, então podemos afirmar que:
Alternativa C

A função é a função constante com lei de formação f(x) = -2. Nesse caso, podemos observar que todos os elementos do domínio possuem mesma imagem, logo, essa função não é injetora, e observamos que a imagem é diferente do contradomínio, então ela não é sobrejetora. Assim, podemos concluir que a função não é bijetora, pois ela não é injetora e não é sobrejetora.
Questão 8

A função é inversível se ela é bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora simultaneamente. Então, dada a função f: A → B, em que A: {1, 2, 3, 4} e B: {-2, 1, 6, 13}, com lei de formação f(x) = x² – 3, podemos afirmar que:
Alternativa D

Analisando a função, verificaremos se ela é injetora e sobrejetora, então, primeiro, calcularemos a imagem de cada um dos valores do domínio:

f(1) = 1² – 3 = -2

f(2) = 2² – 3 = 4 – 3 = 1

f(3) = 3² – 3 = 9 – 3 = 6

f(4) = 4² – 3 = 16 – 3 = 13

Note que elementos diferentes do domínio sempre possuem imagens diferentes, e que o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função, então essa função é injetora e sobrejetora, logo, ela é bijetora. Toda função bijetora é inversão, então a função é inversível, pois ela é bijetora.
Questão 9

O gráfico a seguir representa um recorte de um gráfico de uma função afim, conhecida também como função polinomial do 1º grau.

Analisando o gráfico dessa função, podemos afirmar que:

I. O gráfico dessa função para esse esboço é uma reta.

II. O gráfico mostra que, para esse intervalo, a função é bijetora.

III. A função afim é uma função inversível.

Marque a alternativa correta:
Alternativa E

I. O gráfico dessa função para esse esboço é uma reta. (Verdadeiro)

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta.

II. O gráfico mostra que, para esse intervalo, a função é bijetora. (Verdadeiro)

Note que a imagem é igual ao contradomínio da função, pois todos os elementos do eixo y são imagem de um elemento do eixo x. Note também que essa associação é única, ou seja, não existe um elemento do eixo y que é correspondente de mais de um elemento no eixo x, então essa função é bijetora.

III. A função afim é uma função inversível. (Verdadeiro)

Toda função bijetora é inversível, então essa função também é inversível.
Questão 10

Sabemos que f^-1: B→A é uma função inversa, então podemos concluir que:
Alternativa B

Uma função só admite inversa se ela for bijetora, a função f^-1: B → A é a função inversa da função f : A → B, sendo assim, a função f : A → B é bijetora.
Questão 11

(IMA) Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso.

I. Toda função injetora é bijetora.

II. Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora.

III. Toda função bijetora admite inversa.

VI. Quando a imagem é igual ao contradomínio, temos uma função sobrejetora.
Alternativa B

I. Toda função injetora é bijetora. (Falso)

Além de ser injetora, é necessário que a função seja sobrejetora também.

II. Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora. (Falso)

Essa é a característica da função injetora.

III. Toda função bijetora admite inversa. (Verdadeiro)

Uma função admite inversa se é bijetora.

VI. Quando a imagem é igual ao contradomínio, temos uma função sobrejetora. (Verdadeiro)

Para ser sobrejetora, a imagem tem que ser igual ao contradomínio.
Questão 12

(UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir.

Pode-se afirmar que:
Alternativa A

Analisando os gráficos, podemos observar que:
- A função f é bijetiva, no domínio [m, n], pois todos os elementos do contradomínio [q, p] são imagens de um único elemento do domínio.
- No gráfico da função g, podemos observar que a função é sobrejetiva, pois o contradomínio é igual à imagem da função, entretanto, a função não é injetiva, pois há uma parte constante, em que elementos diferentes do domínio possuem a mesma imagem.
- No gráfico da função h, podemos observar que a função não é nem injetiva, nem sobrejetiva, pois a imagem é diferente do contradomínio, e há um momento em que a função é constante.
Então podemos afirmar que: f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.