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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre inequações exponenciais

Exercícios sobre inequações exponenciais

A resolução de exercícios sobre inequações exponenciais exige conhecimento sobre as regras de potenciação e de equação exponencial. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro

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Questão 1

Se x é um número real, resolva a inequação exponencial (3^x)^{x – 1} ≤ 729.

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Resposta

Podemos reescrever essa inequação exponencial substituindo o número 729 pela potência de base 3 e expoente 6. Feito isso, estabeleceremos a inequação apenas entre os expoentes:

(3^x)^{x – 1} ≤ 729
(3^x)^x^–¹ ≤ 3⁶
x(x – 1) ≤ 6
x² – x – 6 ≤ 0

Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 1)² – 4.1.(– 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

x = – (– 1) ± √25
2.1

x = 1 ± 5
2

x' = 1 + 5 = 6 = 3
2 2

x'' = 1 – 5 = – 4 = – 2
2 2

Portanto, a solução da inequação é dada por S = {x R | – 2 ≤ x ≤ 3}.

Questão 2

Seja x um número real, determine o conjunto solução da seguinte inequação exponencial:

2^{2x + 2} – 2^{x + 3} > 2^x – 2

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Resposta

Para resolver a inequação exponencial 2^{2x + 2} – 2^{x + 3} > 2^x – 2, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

2^2x· 2² – 2^x· 2³ > 2^x– 2¹
(2^x)²· 2² – 2^x· 2³ > 2^x– 2¹

Façamos y = 2^x:

y²· 2² – y · 2³ > y – 2¹
4y² – 8y > y – 2
4y² – 9y + 2 > 0

Temos então uma inequação do 2° grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:

∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 9)² – 4.4.2
∆ = 81 – 32
∆ = 49

y = – b ± √∆
2.a

y = – (– 9) ± √49
2.4

y = 9 ± 7
8

y₁ = 9 + 7
8

y₁ = 16
8

y₁ = 2

y₂ = 9 – 7
8

y₂ = 2
8

y₂ = 1
4

Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver y = 2^x:

Para y₁ = 2

2^x = y
2^x = 2
x₁ = 1

Para y₂ = ¹/₄

2^x = y
2^x = ¹/₄
2^x = 2^{– 2}
x₂ = – 2

O enunciado pediu o conjunto solução da inequação exponencial. Como as raízes são x₁ = 1 e x₂ = – 2, o conjunto solução é S = {x R | x < – 2 ou x > 1}.

Questão 3

(Vunesp) É dada a inequação:

O conjunto verdade V, considerado o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por:

a) V = {x R | x ≤ – 3 ou x ≥ 2}

b) V = {x R | x ≤ – 3 e x ≥ 2}

c) V = {x R | – 3 ≤ x ≤ 2}

d) V = {x R | x ≤ – 3}

e) V = {x R | x ≥ 2}

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Resposta

Para resolver a inequação exponencial proposta no exercício, simplificaremos a fração ³/₉:

Multiplicaremos agora o expoente que está dentro dos parênteses pelos que estão fora:

Podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes:

x² – x ≥ 3 – x
2 2

Multiplicaremos toda a inequação por dois:

x² – x ≥ 6 – 2x
x² + x – 6 ≥ 0

Pela fórmula de Bhaskara, teremos:

Δ = 1² – 4.1.(– 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

x = – 1 ± √25
2.1

x = – 1 ± 5
2

x' = – 1 + 5 = 4 = 2
2 2

x'' = – 1 – 5 = – 6 = – 3
2 2

Portanto, a alternativa que corresponde à solução encontrada é a letra a.

Questão 4

(UFRGS) A solução da inequação 0,5^{(1 – x)} > 1 é o conjunto:

a) {x R | x > 1}

b) {x R | x < 1}

c) {x R | x > 0}

d) {x R | x < 0}

e) Reais

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Resposta

Inicialmente podemos escrever o número 1 como a potência de base 0,5 e expoente 0:

0,5^{(1 – x)} > 1
0,5^{(1 – x)} > 0,5⁰

Como as bases das potências são iguais, podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes. Lembrando que, como a base é 0,5, um número menor do que 1, devemos inverter a desigualdade:

1 – x < 0
– x < – 1
x > 1

Portanto, a alternativa que apresenta a solução correta é a letra a.