Exercícios sobre inequações modulares

Vamos remover o módulo da inequação |3x + 5| < 20 para resolvê-la:

|3x + 5| < 20
– 20 < 3x + 5 < 20
– 20 – 5 < 3x < 20 – 5
– 25 < 3x < 15
– 25 < x < 15
  3             3
– 25 < x < 5
3           

Portanto, o conjunto solução é .

Para resolver a inequação modular 2 ≤ |2x + 1| ≤ 10, é indicado separá-la em duas inequações modulares distintas:

(i) |2x + 1| ≤ 10
(ii) 2 ≤ |2x + 1|

Vamos agora resolver a inequação (i) |2x + 1| ≤ 10:

|2x + 1| ≤ 10
– 10 ≤ 2x + 1 ≤ 10
– 10 – 1 ≤ 2x ≤ 10 – 1
– 11 ≤ 2x ≤ 9
– 11 ≤ x ≤ 9
2 2

Já com a inequação (ii) |2x + 1| ≥ 2, temos:

2x + 1≥ 2 ou 2x + 1≤ - 2

Resolvendo o primeiro caso da inequação (ii)

2x + 1≥ 2
2x ≥ 2 – 1
2x ≥ 1
x≥ ½

Resolvendo o segundo caso da inequação (ii)

2x + 1≤ - 2
2x ≤ -2 – 1
2x ≤ -3
x ≤ -3/2

Logo a solução da inequação II é:

x≥ ½ ou x ≤ -3/2

Por fim, montamos o quadro de resolução:

Quadro de resolução da questão 2

A solução que compreende todos os x reais é

.

Para resolver a inequação 1 < |x – 1| < 2, vamos desmembrá-la em duas inequações modulares:

(i) 1 < |x – 1| ou |x – 1| > 1
(ii) |x – 1| < 2

Resolvendo a inequação (i) |x – 1| > 1, temos:

|x – 1| > 1
– 1 > x – 1 > 1
– 1 + 1 > x > 1 + 1
0 > x > 2

Já com a inequação (ii) |x – 1| < 2, temos:

|x – 1| < 2
– 2 < x – 1 < 2
– 2 + 1 < x < 2 + 1
– 1 < x < 3

Por fim, montamos o quadro de resolução:

Quadro de resolução da questão 3

A solução é .

A propriedade básica de módulo garante que . Sendo assim, ao resolver a equação, consideramos os dois casos.

Vamos verificar a solução para os dois casos:

Soluções da questão 4

Observe que a solução do 1° caso é x < 0 ou x > 1, já a do 2º caso é – 1 < x < 0. Sendo assim, o conjunto solução é .