Exercícios sobre permutação simples
Heitor está brincando com os seus carrinhos, os enfileirando de maneiras distintas. Sabendo que ele está brincando com 4 carrinhos, de quantas maneiras distintas ele pode enfileirá-los?
a) 4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 120
Alternativa D
Temos uma permutação simples de 4 elementos:
\(P_4=4!\)
\(P_4=4\cdot3\cdot2\cdot1\)
\(P_4=24\)
Logo, há 24 maneiras distintas de enfileirar os carrinhos.
Márcio decidiu listar os 10 documentários que ele deseja assistir na próxima semana, sendo que ele assistirá 2 por dia, de segunda a sexta-feira. Eles podem ser vistos em ordem aleatória, exceto o documentário sobre sereias, que tem os segmentos 1 e 2. Márcio assistirá a ambos no mesmo dia, nessa ordem. O número de maneiras distintas que Márcio pode ver esses documentários de forma que ele assistirá obrigatoriamente aos documentários sobre sereias no mesmo dia é igual a:
a) \(8!\cdot5\)
b) \(9!\)
c) \(10!\)
d) \(9!\cdot2\)
e) \(8!\cdot2!\)
Alternativa A
Como há dois documentários que serão assistidos em um único dia nessa ordem, primeiramente escolheremos os outros 8 documentários, com \(P_8=8!\) Além disso, há 5 opções para que ele assista o documentário de sereia, pois ele escolherá 1 entre os 5 dias para assistir os segmentos 1 e 2, nessa ordem. Então, o total de maneiras possíveis pode ser calculado por \(8!\cdot5\).
Durante a expedição de uma empresa de peças automotivas, um entregador fará a entrega de 5 encomendas. Para uma delas, o cliente pediu urgência, e a empresa resolveu atender a esse pedido. Já as demais serão feitas todas em pontos diferentes da cidade. Logo, o entregador tem liberdade para fazer a rota de entrega dos demais pedidos. Diante disso, de quantas maneiras distintas essa entrega pode ser feita?
A) 16
B) 24
C) 25
D) 120
E) 720
Alternativa B
O entregador tomará a decisão das outras 4 entregas, já que a primeira será a do cliente que pediu urgência.
Nesse caso, basta calcular a permutação de 4 elementos:
\(P_4=4!\ \)
\(P_4=4\cdot3\cdot2\cdot1\)
\(P_4=24\)
Quantos números de algarismos distintos é possível formar com os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7, 9?
A) 6
B) 16
C) 24
D) 120
E) 720
Alternativa D
Como há 5 algarismos, basta calcularmos a permutação de 5 elementos:
\(P_5=5!\)
\(P_5=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\)
\(P_5=120\)
Kárita decidiu organizar a sua estante de livros. Ela possui 6 livros, todos distintos entre si, sendo que 2 possuem capas na cor azul, 3 possuem capas na cor branca e o outro possui capa na cor vermelha. De quantas maneiras distintas ela pode ordenar os seus livros de modo que livros de uma mesma cor fiquem sempre lado a lado?
A) 10 maneiras
B) 18 maneiras
C) 24 maneiras
D) 36 maneiras
E) 72 maneiras
Alternativa E
Primeiramente, calcularemos a permutação entre as cores dos livros.
Como há 3 cores, temos \(P_3\). Como podemos definir a ordem dos livros em relação a uma mesma cor, o número de maneiras distintas para ordenar essa estante é:
\(P_3\cdot P_2\cdot P_3\cdot P_1\)
\(3!\ \cdot2!\ \cdot3!\ \cdot1\)
\(3\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot3\ \cdot2\ \cdot1\ \cdot1\)
72 maneiras
Um grupo composto por 8 pessoas, sendo 4 casais, decidiu ir ao cinema no domingo. Sabendo que eles compraram 8 cadeiras sequenciais pertencentes a uma mesma fileira, de quantas maneiras distintas esses indivíduos podem se sentar de forma que duas pessoas de um mesmo casal sempre fiquem lado a lado?
A) 4! ⋅ \(2^4\)
B) 8!
C) 4! ⋅ 2
D) 4! ⋅ 4
E) 8! ⋅ 2
Alternativa A
De início, escolheremos a ordem dos casais. Como há 4 casais, temos uma permutação de 4 elementos. Um casal pode se sentar de duas maneiras distintas, sendo AB ou BA. Logo, o número de maneiras que esses casais podem se sentar é dado por:
\(P_4\cdot2^4\)
\(4!\cdot2^4\)
O número de anagramas possíveis que podemos fazer com o nome BRASIL pode ser calculado por:
A) \(P_5\)
B) \({\ C}_1^6\)
C) \({\ P}_6\)
D) \({\ A}_{6,1}\)
E) \({\ P}_6^{3,2}\)
Alternativa C
Como o nome BRASIL possui 6 letras e nenhuma repetição, para calcular o total de anagramas basta calcularmos \(P_6\).
Resolvendo a operação entre as permutações a seguir
\(P_6-\ P_5-P_3\)
encontramos como resposta:
A) 832
B) 720
C) 620
D) 597
E) 594
Alternativa E
Calculando a operação, temos:
\(P_6-\ P_5-P_3=6!-\ 5!-3!\)
\(P_6-P_5-P_3=720-120-6\)
\(P_6-P_5-P_3=594\)
O total de anagramas que podemos formar com o nome GOIANIA é igual a
A) 800
B) 1022
C) 1260
D) 2520
Alternativa C
Nesse caso, temos uma permutação com repetição, pois o A se repete 2 vezes e o I se repete 2 vezes. Logo, temos que:
\(P_7^{2,2}=\frac{7!}{2!2!}\)
\(P_7^{2,2}=\frac{7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3\bullet2!}{2!2!}\)
\(P_7^{3,2}=\frac{7\bullet6\bullet5\bullet4\bullet3}{2}\ =1260\)
Há 1260 anagramas possíveis.
Durante um torneio intercolegial, o time vencedor conseguiu obter 6 vitórias, 3 empates e 1 derrota. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter acontecido?
A) 5040
B) 2520
C) 1260
D) 630
E) 315
Alternativa B
Calcularemos a permutação de 10 elementos com a repetição de 6 vitórias e 3 empates:
\(P_{10}^{6,2}=\frac{10!}{6!2!}\)
\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!2!}\)
\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{2}\)
\(P_{10}^{6,2}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{2}\)
\(P_{10}^{6,2}=2520\)
(Enem Digital 2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as 7 letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @.
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?
A) 59
B) 60
C) 118
D) 119
E) 120
Alternativa D
Como “edu” sempre estará junto, na verdade estamos escolhendo a posição de 5 elementos: “edu”, “a”, “r”, “d” e “o”. Assim, faremos uma permutação de 5.
\(P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\)
Vale lembrar que o e-mail que começa com “eduardo” já está sendo usado, então há 120 – 1 = 119 opções distintas de e-mail.
Resolvendo a operação
\(\frac{P_5P_4}{P_6}\)
encontraremos:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Alternativa B
Calculando:
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6!}\)
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6\cdot5!}\)
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{5!4!}{6\cdot5!}\)
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{4!}{6}\)
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=\frac{4\bullet3\bullet2\bullet1\ }{6}\)
\(\frac{P_5P_4}{P_6}=4\)
