Exercícios sobre plano cartesiano
No plano cartesiano a seguir, estão demonstrados 4 pontos, um em cada quadrante:
Analisando a imagem, podemos afirmar que o ponto sinalizado que pertence ao quarto quadrante é o ponto:
a) (6, 4)
b) (-5, 5)
c) (3, -3)
d) (-6, -4)
Alternativa D
O quarto quadrante é o quadrante que possui valor de abscissa positivo e valor de ordenada negativo; no plano cartesiano demonstrado na imagem, o ponto que está no quarto quadrante é o ponto (3, -4).
Para realizar um estudo de uma região de reserva florestal, o Instituto Brasileiro do Meio Ambiente (Ibama) decidiu colocar mais duas bases de observação em dois pontos diferentes dessa reserva. Sendo O(0,0) o dormitório, e A(30,50) e B(60,10) a localização das bases de observação, em km, a distância entre essas duas bases em km será de:
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
Alternativa B
Calculando a distância entre os dois pontos temos que:
\(D_{AB} = \sqrt{(30 - 60)^2 + (50 - 10)^2}\)
\(D_{AB} = \sqrt{30^2 + 40^2} \)
\(D_{AB} = \sqrt{900 + 1600} \)
\(D_{AB} = \sqrt{2500} \)
\(D_{AB}=50\)
Durante as aulas de robótica, um robô inicia em um ponto no plano cartesiano, na posição (2, 3). Ele se move 4 unidades para a direita e depois 5 unidades para baixo. Qual é a nova posição do robô?
A) (6, -2)
B) (2, -5)
C) (6, -1)
D) (8, 8)
Alternativa A
Se ele está no ponto (2, 3) e se move 4 unidades para a direita, então 2 + 4 = 6; além disso, 5 unidades para baixo significam – 5, então temos que 3 – 5 = - 2. Portanto a localização desse ponto será (6, -2).
Um gráfico no plano cartesiano mostra as vendas de um produto ao longo de vários meses. A equação da reta que melhor representa o crescimento das vendas é dada por y = 3x + 5, onde x representa o mês e y o número de unidades vendidas. Qual será o número de unidades vendidas no mês 7?
A) 21 unidades
B) 26 unidades
C) 33 unidades
D) 44 unidades
Alternativa B
Como sabemos que a equação que descreve a reta é y = 3x + 5, para saber o número de unidades vendidas no mês 7 basta substituir x = 7 na equação:
y = 3 ⋅ 7 + 5
y = 21 + 5
y = 26
Então, o número de unidades vendidas no mês 7 é de 26 unidades.
Duas escolas, a Escola Buriti e a Escola Pequi, estão localizadas nos pontos (10, 10) e (50, 40) em um mapa representado por um plano cartesiano. Para atender melhor à região, uma nova escola será construída exatamente no ponto médio entre as duas escolas existentes. Qual será a coordenada da nova escola?
A) (30, 25)
B) (20, 30)
C) (40, 25)
D) (30, 30)
E) (35, 20)
Alternativa A
Para calcular o ponto médio, temos que:
\(x_M = \frac{10 + 50}{2} = \frac{60}{2} = 30 \\ y_M = \frac{10 + 40}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Então as coordenadas da escola nova serão (30, 25).
(Enem 2018) Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x; y) ∈ N x N, tais que:
a) 0 ≤ x ≤ y ≤10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤10
d) 0 ≤ x + y ≤10
e) 0 ≤ x + y ≤20
Alternativa B
Note que todos os pontos do plano cartesiano que estão na hipotenusa do triângulo são os pontos que possuem x = y, sendo os pontos (0,0); (1,1); (2,2); ... (10, 10). Perceba então que os valores de x e y estão sempre entre 0 e 10. Além disso, analisando o gráfico é possível verificar que os valores de y são sempre iguais ou menores que o valor de x, por exemplo, quando x = 10, temos os pontos (10, 10), (10, 9), (10, 8) ... (10, 0). Então y é sempre menor ou igual a x, logo podemos afirmar que:
0 ≤ y ≤ x ≤10
(Enem 2022) Uma pessoa precisa se deslocar de automóvel do ponto P para o ponto Q, indicados na figura, na qual as linhas verticais e horizontais simbolizam ruas.
Por causa do sentido de tráfego nessas ruas, o caminho poligonal destacado é a possibilidade mais curta de efetuar esse deslocamento. Para descrevê-lo, deve-se especificar qual o sentido a ser tomado em cada cruzamento de ruas, em relação à direção de deslocamento do automóvel, que se movimentará continuamente. Para isso, empregam-se as letras E, F e D para indicar
“vire à esquerda”, “siga em frente” e “vire à direita”, respectivamente.
A sequência de letras que descreve o caminho poligonal destacado é
a) DDEFDDEEFFD.
b) DFEFDDDEFFD.
c) DFEFDDEEFFD.
d) EFDFEEDDFFE.
e) EFDFEEEDFFE.
Alternativa C
Analisando, podemos verificar que a sequência correta é:
DFEFDDEEFFD.
(Enem 2014) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone.
Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Alternativa C
Ao analisar o gráfico no plano cartesiano, o plano cujo tempo mensal em minutos é o maior possível para o valor de R$ 30,00 mensal é o plano C.
(Enem 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.
Com base nesses dados, o imóvel que atende às pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas
a) 3 e C
b) 4 e C
c) 4 e D
d) 4 e E
e) 5 e C
Alternativa C
Como o local de trabalho da mãe e o consultório do pai estão localizados na rua E, o imóvel precisa ser situado na rua 4, que é a linha de simetria entre os pontos correspondentes, garantindo que a distância até os dois locais seja a mesma. Sabemos que a distância do consultório até a escola é de 6 quarteirões, portanto o imóvel deve estar a 3 quarteirões de cada um desses lugares. Partindo da escola e caminhando 3 quarteirões pela rua 4, chegaremos à rua D.
O imóvel deverá ser posicionado no cruzamento da rua 4 com a rua D.
O plano cartesiano é uma representação gráfica que organiza os pontos do plano de acordo com suas coordenadas. Ele é composto por dois eixos perpendiculares: o eixo horizontal, conhecido como eixo das abscissas, e o eixo vertical, chamado eixo das ordenadas. Esses eixos se cruzam no ponto de origem, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. Considerando que um ponto P(a, b) tem as seguintes características: a < 0 e b > 0, a qual quadrante do plano cartesiano esse ponto pertence?
A) Primeiro quadrante
B) Segundo quadrante
C) Terceiro quadrante
D) Quarto quadrante
E) Eixo das ordenadas
Alternativa B
Sabemos que no segundo quadrante os valores de abscissa são negativos e de ordenada são positivas, sendo assim P é um ponto do segundo quadrante.
Em um plano cartesiano foram marcados os pontos A (4, 5), B (-3, 2), C (-1, -4), D (2, -3), E (3, 1), F (-2, -1) e G (1, 3). O quadrante em que foram marcados mais pontos é:
A) I
B) II
C) III
D) IV
Alternativa A
Vamos analisar a posição de cada ponto em relação aos quadrantes:
- Ponto A (4, 5): está no quadrante I, pois ambos os valores são positivos.
- Ponto B (-3, 2): está no quadrante II, pois o valor x é negativo e o valor y é positivo.
- Ponto C (-1, -4): está no quadrante III, pois ambos os valores são negativos.
- Ponto D (2, -3): está no quadrante IV, pois o valor x é positivo e o valor y é negativo.
- Ponto E (3, 1): está no quadrante I, pois ambos os valores são positivos.
- Ponto F (-2, -1): está no quadrante III, pois ambos os valores são negativos.
- Ponto G (1, 3): está no quadrante I, pois ambos os valores são positivos.
- Quadrante I: A, E, G (3 pontos)
- Quadrante II: B (1 ponto)
- Quadrante III: C, F (2 pontos)
- Quadrante IV: D (1 ponto)
Então, o quadrante com o maior número de pontos é o quadrante I.
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:
I - O eixo vertical é conhecido também como eixo das ordenadas.
II - O ponto B (4, -2) está localizado no quarto quadrante.
III - O eixo horizontal é conhecido também como eixo das coordenadas.
Podemos afirmar que:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Alternativa D
I - Verdadeira. No plano cartesiano, o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas.
II - Verdadeira. O ponto B tem coordenadas (4, -2). O primeiro valor é positivo (4), o que significa que está à direita do eixo y, e o segundo valor é negativo (-2), indicando que está abaixo do eixo x. Isso demonstra que o ponto está no quarto quadrante.
III - Falsa. O eixo horizontal é conhecido como eixo das abscissas, não "eixo das coordenadas".
