Exercícios sobre ponto médio de um segmento de reta
Dado um segmento de reta AB cujas extremidades estão nas coordenadas A = (1, 3) e B = (– 5, – 6), quais são as coordenadas do seu ponto médio?
a) M = (– 1,5; – 2)
b) M = (– 2; – 1,5)
c) M = (2; 1,5)
d) M = (1,5; 2)
e) M = (2,5; – 1)
As coordenadas do ponto médio de um segmento de reta são M = (x, y), em que x e y são:
x = xA + xB
2
y = yA + yB
2
Substituindo as coordenadas dos pontos dados, teremos para x:
x = 1 + (– 5)
2
x = 1 – 5
2
x = – 4
2
x = – 2
Para y:
y = 3 + (– 6)
2
y = 3 – 6
2
y = – 3
2
y = – 1,5
Então, o ponto médio M = (– 2; – 1,5)
Gabarito: Letra B.
Dadas as coordenadas do ponto médio M = (2, 5), quais são as coordenadas da extremidade A do segmento de reta que o contém, sabendo que a outra extremidade está no ponto B = (5, 5)?
a) M = (– 1, 5)
b) M = (– 1, 1)
c) M = (1, 5)
d) M = (1, – 5)
e) M = (5, – 1)
Utilize a fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta:
x = xA + xB
2
y = yA + yB
2
X e y são as coordenadas do ponto médio. Substitua as coordenadas do ponto médio e do ponto B nas expressões acima e calcule as coordenadas do ponto A.
x = xA + xB
2
2 = xA + 5
2
2·2 = xA + 5
4 – 5 = xA
xA = – 1
y = yA + yB
2
5 = yA + 5
2
5·2 = yA + 5
5·2 – 5 = yA
10 – 5 = yA
yA = 5
Então, as coordenadas do ponto médio são M = (– 1, 5).
Gabarito: Letra A.
Um segmento de reta tem uma de suas extremidades no ponto A = (a, 2a) e seu ponto médio no ponto M = (6a, 3a). Quais são as coordenadas da outra extremidade desse segmento de reta em função de a?
a) (11, 4)
b) (4, 11)
c) (11a, 4a)
d) (4a, 11a,)
e) (a, a)
Usando a fórmula para o cálculo do ponto médio do segmento de reta, dada pelas expressões a seguir, calcule o valor de cada coordenada da outra extremidade do segmento, que será representada aqui pelo ponto B.
x = xA + xB
2
6a = a + xB
2
2·6a = a + xB
12a = a + xB
12a – a = xB
11a = xB
xB = 11a
y = yA + yB
2
3a = 2a + yB
2
2·3a = 2a + yB
6a = 2a + yB
6a – 2a = yB
4a = yB
yB = 4a
As coordenadas da outra extremidade do segmento de reta são: B = (11a, 4a).
Gabarito: Letra C.
Os segmentos de reta AB e CD cruzam-se em seus pontos médios. Sabendo que esses segmentos determinam um paralelepípedo e que A = (– 3, – 1), B = (4, 2) e C = (– 1, 2), quais são as coordenadas do ponto D?
a) D = (1, – 2)
b) D = (– 1, 2)
c) D = (0,5; 0,5)
d) D = (2, – 2)
e) D = (2, – 1)
Para descobrir as coordenadas do ponto D, é necessário descobrir antes as coordenadas do ponto médio dos segmentos para depois usar a mesma estratégia do exercício anterior: descobrir a extremidade de um segmento usando a outra extremidade e o seu ponto médio. Para tanto, usaremos a fórmula para ponto médio de um segmento de reta duas vezes. Observe:
1 – Encontrar o ponto médio dos segmentos usando o segmento de extremidades conhecidas:
x = xA + xB
2
x = – 3 + 4
2
x = 1
2
x = 0,5
y = yA + yB
2
y = – 1 + 2
2
y = 1
2
y = 0,5
O ponto médio dos segmentos é M = (0,5; 0,5).
2 – Descobrir as coordenadas de D usando o ponto médio descoberto:
x = xC + xD
2
0,5 = – 1 + xD
2
2·0,5 = – 1 + xD
1 = – 1 + xD
1 + 1 = xD
xD = 2
y = yC + yD
2
0,5 = 2 + yD
2
2·0,5 = 2 + xD
1 = 2 + xD
1 – 2 = xD
– 1 = xD
xD = – 1
Logo, as coordenadas do ponto D são:
D = (2, – 1)
Gabarito: Letra E.
