Exercícios sobre ponto médio de um segmento de reta

Estes exercícios sobre ponto médio de um segmento de reta testarão seus conhecimentos sobre localização de pontos no plano. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
Questão 1

Dado um segmento de reta AB cujas extremidades estão nas coordenadas A = (1, 3) e B = (– 5, – 6), quais são as coordenadas do seu ponto médio?

a) M = (– 1,5; – 2)

b) M = (– 2; – 1,5)

c) M = (2; 1,5)

d) M = (1,5; 2)

e) M = (2,5; – 1)

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Resposta

As coordenadas do ponto médio de um segmento de reta são M = (x, y), em que x e y são:

x = xA + xB
       2

y = yA + yB
      2

Substituindo as coordenadas dos pontos dados, teremos para x:

x = 1 + (– 5)
      2

x = 1 – 5
      2

x = – 4
      2

x = – 2

Para y:

y = 3 + (– 6)
     2

y = 3 – 6
      2

y = – 3
      2

y = – 1,5

Então, o ponto médio M = (– 2; – 1,5)

Gabarito: Letra B.

Questão 2

Dadas as coordenadas do ponto médio M = (2, 5), quais são as coordenadas da extremidade A do segmento de reta que o contém, sabendo que a outra extremidade está no ponto B = (5, 5)?

a) M = (– 1, 5)

b) M = (– 1, 1)

c) M = (1, 5)

d) M = (1, – 5)

e) M = (5, – 1)

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Resposta

Utilize a fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta:

x = xA + xB
      2

y = yA + yB
      2

X e y são as coordenadas do ponto médio. Substitua as coordenadas do ponto médio e do ponto B nas expressões acima e calcule as coordenadas do ponto A.

x = xA + xB
     2

2 = xA + 5
      2

2·2 = xA + 5

4 – 5 = xA

xA = – 1

y = yA + yB
     2

5 = yA + 5
      2

5·2 = yA + 5

5·2 – 5 = yA

10 – 5 = yA

yA = 5

Então, as coordenadas do ponto médio são M = (– 1, 5).

Gabarito: Letra A.

Questão 3

Um segmento de reta tem uma de suas extremidades no ponto A = (a, 2a) e seu ponto médio no ponto M = (6a, 3a). Quais são as coordenadas da outra extremidade desse segmento de reta em função de a?

a) (11, 4)

b) (4, 11)

c) (11a, 4a)

d) (4a, 11a,)

e) (a, a)

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Resposta

Usando a fórmula para o cálculo do ponto médio do segmento de reta, dada pelas expressões a seguir, calcule o valor de cada coordenada da outra extremidade do segmento, que será representada aqui pelo ponto B.

x = xA + xB
      2

6a = a + xB
      2

2·6a = a + xB

12a = a + xB

12a – a = xB

11a = xB

xB = 11a

y = yA + yB
      2

3a = 2a + yB
       2

2·3a = 2a + yB

6a = 2a + yB

6a – 2a = yB

4a = yB

yB = 4a

As coordenadas da outra extremidade do segmento de reta são: B = (11a, 4a).

Gabarito: Letra C.

Questão 4

Os segmentos de reta AB e CD cruzam-se em seus pontos médios. Sabendo que esses segmentos determinam um paralelepípedo e que A = (– 3, – 1), B = (4, 2) e C = (– 1, 2), quais são as coordenadas do ponto D?

a) D = (1, – 2)

b) D = (– 1, 2)

c) D = (0,5; 0,5)

d) D = (2, – 2)

e) D = (2, – 1)

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Resposta

Para descobrir as coordenadas do ponto D, é necessário descobrir antes as coordenadas do ponto médio dos segmentos para depois usar a mesma estratégia do exercício anterior: descobrir a extremidade de um segmento usando a outra extremidade e o seu ponto médio. Para tanto, usaremos a fórmula para ponto médio de um segmento de reta duas vezes. Observe:

1 – Encontrar o ponto médio dos segmentos usando o segmento de extremidades conhecidas:

x = xA + xB
      2

x = – 3 + 4
      2

x = 1
      2

x = 0,5

y = yA + yB
     2

y = – 1 + 2
       2

y = 1
      2

y = 0,5

O ponto médio dos segmentos é M = (0,5; 0,5).

2 – Descobrir as coordenadas de D usando o ponto médio descoberto:

x = xC + xD
      2

0,5 = – 1 + xD
        2

2·0,5 = – 1 + xD

1 = – 1 + xD

1 + 1 = xD

xD = 2

y = yC + yD
      2

0,5 = 2 + yD
       2

2·0,5 = 2 + xD

1 = 2 + xD

1 – 2 = xD

– 1 = xD

xD = – 1

Logo, as coordenadas do ponto D são:

D = (2, – 1)

Gabarito: Letra E.

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