Exercícios sobre quadrado da diferença
O quadrado da diferença é um produto notável em que uma subtração entre dois números negativos é elevada ao quadrado. Um exemplo de quadrado da diferença, o seu resultado e um método para encontrá-lo rapidamente são, respectivamente:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda e somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
b) (2a – 4b)2 = 4a2 + 16ab + 16b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda e somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
c) (2a – 4b)2 = 4a2 + 16ab – 16b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda menos o quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
d) (2a – 4b)2 = 4a2 – 16ab + 16b2. O quadrado da primeira parcela menos o produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
e) a2 – b2 = a2 – 2ab + b2. O quadrado da primeira parcela menos o produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
a) Falsa, pois se trata do quadrado da soma.
b) Falsa, pois o quadrado da diferença teria o termo 16ab negativo.
c) Falsa, pois, em se tratando de quadrado da diferença, o “quadrado do segundo” nunca ficará negativo.
d) Verdadeira!
e) Falsa, pois se trata da diferença de dois quadrados, cujo produto notável gerador é: (a + b)(a – b).
Gabarito: Letra D.
(IBMEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) À diferença dos quadrados dos dois números.
b) À soma dos quadrados dos dois números.
c) À diferença dos dois números.
d) Ao dobro do produto dos números.
e) Ao quádruplo do produto dos números.
Tomaremos os dois números reais x e y e calcularemos a diferença entre o quadrado da soma de x e y e o quadrado da diferença entre eles. Observe:
(x + y)2 – (x – y)2
x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2)
x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
2xy + 2xy
4xy
Esse resultado é exatamente o quádruplo do produto entre os números.
Gabarito: Letra E.
(TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu:
– O número de processos que arquivei é igual a (12,25)2 – (10,25)2.
Chamando X do total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:
a)38 < X < 42.
b) X > 42.
c) X < 20.
d)20 < X < 30.
e)30 < X < 38
O que deve ser resolvido é o seguinte:
(12,25)2 – (10,25)2
Observe que essa expressão é um quadrado da diferença. Ela pode ser resolvida facilmente por não contar com nenhuma incógnita. Observe:
(12,25)2 – (10,25)2 = (12,25 + 10,25)(12,25 – 10,25)
Agora basta realizar as operações dentro dos parênteses para obter:
(12,25)2 – (10,25)2 = (22,5)(2)
O resultado desse produto será:
(12,25)2 – (10,25)2 = 45
Como o resultado é 45, então, o valor de x é maior que 42.
Gabarito: Letra B.
A fração algébrica abaixo também pode ser escrita como:
4x2 – 8xy + 4y2
2(x – y)
a) 2x + y
b) 2x + 2y
c) 2(x – y)
d) 4x – 4y
e) x – 2y
Observe que o numerador dessa fração é um trinômio quadrado perfeito, resultado de um quadrado da diferença. Para reescrevê-lo como produto notável, devemos fazer o seguinte:
1 – Extrair raízes dos termos elevados ao quadrado.
Essas raízes são: 2x e 2y
2) Multiplicar o dobro da primeira raiz pela segunda.
O resultado é 8xy. Isso serve para comprovar que se trata de um produto notável. Como esse resultado é exatamente o termo que não está elevado ao quadrado, exceto pelo sinal, então isso está comprovado.
3) Vamos escrever o produto notável usando as raízes no numerador da fração algébrica:
4x2 – 8xy + 4y2
2(x – y)
(2x – 2y)2
2(x – y)
4) Expandir e simplificar:
(2x – 2y)(2x – 2y)
2(x – y)
2(x – y)(2x – 2y)
2(x – y)
2x – 2y ou 2(x – y)
Gabarito: Letra C.
