Exercícios sobre Raiz de uma Equação Completa do 2º grau
(CESGRANRIO) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades, é:
a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9
O produto de 5x8 resulta em 40. Se o novo produto diminuirá 36 unidades, então ele valerá 4 (40 – 36 = 4).
De cada fator de 5x8, vamos retirar x unidades. Sendo assim, o produto que resultará em 4 será:
(5 – x)(8 – x) = 4
Multiplicando os termos à esquerda através da propriedade associativa, temos:
40 – 8x – 5x – x2 = 4
x2 – 13x + 40 – 4 = 0
x2 – 13x + 36 = 0
Utilizando a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação, temos:
x = – b ±√∆
2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-13)2 – 4.1.36
∆ = 169 – 144
∆ = 25
Vamos encontrar agora o valor de x:
x = – (-13) ±√25
2.1
x = 13 ± 5
2
x1 = 13 + 5 = 18 = 9
2 2
x2 = 13 – 5 = 8 = 4
2 2
Como não temos a alternativa de valor 4, o valor de x1 (x1 = 9) é o resultado mais adequado. Portanto, a alternativa correta é a letra e.
(UFPE) Se x é um número real positivo tal que ao adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como resultado o número x, qual é o valor de x?
a) 1 – √5
2
b) 1 + √5
2
c) 1
d) 1 + √3
2
e) 1 – √5
2
Interpretando o problema, temos que o inverso de um número real positivo x é 1/x. Sendo assim, temos que:
1 + 1 = x
x
Sendo x o Mínimo Múltiplo Comum dos termos dessa equação, temos:
1 + x = x
x
1 + x = x2
x2 – x – 1 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x = – b ±√∆
2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-1)2 – 4.1.(-1)
∆ = 1 + 4
∆ = 5
Portanto, o valor de x é dado por:
x = – (-1) ±√5
2.1
x = 1 ± √5
2
Temos duas opções de respostas. Mas como no enunciado foi ressaltado que x é um número real positivo, então a alternativa correta é a letra b:
x = 1 + √5
2
Resolva a equação de segundo grau completa: x2 + 3x – 10 = 0.
Vamos identificar os coeficientes da equação: a = 1, b = 3 e c = – 10. Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la:
x = – b ±√∆
2.a
Vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = 32 – 4.1.(-10)
∆ = 9 + 40
∆ = 49
Vamos então encontrar o valor de x:
x = – 3 ±√49
2.1
x = – 3 ± 7
2
x1 = – 3 + 7 = 4 = 2
2 2
x2 = – 3 – 7 = – 10 = – 5
2 2
Portanto, as raízes da equação x2 + 3x – 10 = 0 são 2 e – 5.
Escreva a equação a seguir de forma reduzida (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1).
No primeiro membro da equação, há um produto notável, conhecido como Produto da soma pela diferença, que nos garante que (a + b)(a – b) = a2 – b2. No segundo membro da equação, podemos aplicar a propriedade distributiva. Sendo assim:
x2 – 12 = 2x – 2
x2 – 2x + 1 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x = – b ±√∆
2.a
Sendo a = 1, b = – 2 e c = 1 os coeficientes da equação, vamos encontrar o valor de ∆:
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (-2)2 – 4.1.1
∆ = 4 – 4
∆ = 0
Vamos identificar o valor de x através de:
x = – b ±√∆
2.a
x = – (-2) ±√0
2.1
x = 2 ± 0
2
x = 2
2
x = 1
Portanto, a equação (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1) possui uma única raiz x = 1.
