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Exercícios sobre retas perpendiculares

Exercícios de Matemática

Esta lista de exercícios é composta por questões sobre retas perpendiculares e te auxiliará nos seus estudos sobre as principais propriedades dessas retas. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Duas retas são consideradas perpendiculares quando:

A) elas não possuem nenhum ponto em comum.

B) elas se interceptam formando um ângulo de 90°.

C) elas se interceptam possuindo dois pontos em comum.

D) elas pertencem ao mesmo plano.

questão 2

Considere uma reta cuja equação geral é r: \(2x+3y-4=0\). A reta perpendicular a ela, representada por s, que passa pelos pontos (1, 1) possui equação geral igual a:

A) 3y – 2x + 1 = 0

B) x – y + 1 = 0

C) – 3y + 2x – 1 = 0

D) 2y – 3x + 1 = 0

E) 2y + 3x – 1 = 0

questão 3

Dadas as retas \(y_1=2x+3\) e \(y_2=-\frac{1}{2}x+8\), podemos afirmar que:

A) elas são paralelas.

B) elas são perpendiculares.

C) elas são coincidentes.

D) elas são reversas.

questão 4

(Cespe) Considere a reta r: y = –3(x – 2) e o ponto P = (3, 4). Considere, ainda, s a reta que passa por P e que é perpendicular à reta r. Com base nessas informações, assinale a opção que indica o ponto no qual se interceptam as retas r e s.

A) (9/10, 33/10)

B) (9, 12/10)

C) (3/8, 39/8)

D) (–9, –12)

E) (9/8, 33/8)

questão 5

Sobre as retas perpendiculares, julgue as afirmativas a seguir:

I – Duas retas são ditas concorrentes quando elas são perpendiculares.

II – Quando as retas são perpendiculares, elas também são concorrentes.

III – Duas retas são paralelas quando elas formam um ângulo de 90° entre si.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está correta.

B) Somente a afirmativa II está correta.

C) Somente a afirmativa III está correta.

D) Todas as afirmativas são falsas.

questão 6

Analise as posições relativas entre as retas r e s e entre as retas t e p.

Posições relativas entre quatro retas

Podemos afirmar que elas são, respectivamente:

A) concorrentes, perpendiculares e coincidentes.

B) concorrentes, não perpendiculares e paralelas.

C) paralelas e concorrentes perpendiculares.

D) paralelas e coincidentes.

E) concorrentes, perpendiculares e paralelas.

questão 7

A bissetriz dos quadrantes ímpares foi interceptada por uma reta de equação \(y=mx+n\) no ponto 2, 2. Sabendo que, além desse ponto, a reta passa pelo ponto (3, 1), o valor do seu coeficiente linear é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

questão 8

As retas r: \(2x+4\) e s: – 3x + 1 foram representadas em um mesmo plano cartesiano. Analisando a representação, podemos afirmar que:

A) r e s são duas retas são paralelas.

B) r e s são duas retas coincidentes.

C) r e s são retas concorrentes e perpendiculares.

D) r e s são retas concorrentes, mas não perpendiculares.

E) r e s são retas relativamente reversas.

questão 9

Duas retas r e s se encontram no ponto P. Considere que A pertence à reta r e B pertence à reta s e que foi traçada a bissetriz PC do ângulo APB. Sabendo que r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o ângulo suplementar do ângulo APC é igual a:

A) 45°

B) 60°

C) 75°

D) 120°

E) 135°

questão 10

Analise a imagem a seguir:

Retas r e s formando um ângulo de 108,41°

Sobre as retas r e s, podemos afirmar que:

I – As retas r e s são concorrentes.

II – As retas r e s são perpendiculares.

III – As retas r e s são paralelas.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é verdadeira.

B) Somente II é verdadeira.

C) Somente III é verdadeira.

E) Todas são verdadeiras.

questão 11

(FEI) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

A) a = – 1

B) a = 1

C) a = – 4

D) a = 4

E) n.d.a.

questão 12

(Aeronáutica) As retas de equações y + x – 4 = 0 e 2y = 2x – 6 são, entre si,

A) paralelas.

B) coincidentes.

C) concorrentes e perpendiculares.

D) concorrentes e não perpendiculares.

respostas
Questão 1

Alternativa B

Duas retas são perpendiculares se o ângulo formado entre elas possui 90°.

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Questão 2

Alternativa D

Primeiramente, encontraremos o coeficiente angular da reta r:

\(2x+3y-4=0\ \)

\(3y=-\ 2x+4\)

\(y=\frac{-2x}{3}+\frac{4}{3}\)

Então, temos que \(m_r=-\ \frac{2}{3}\).

Sabemos que \(m_r\cdot m_s=-\ 1\):

\(-\frac{2}{3}m_s=-\ 1\)

\(m_s=-\ 1\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(m_s=\frac{3}{2}\)

Sabemos também que a equação reduzida da reta s é:

\(y=\frac{3}{2}x+n\)

Se x = 1 e y = 1:

\(1=\frac{3}{2}\cdot1+n\)

\(1=\frac{3}{2}+n\)

\(1-\frac{3}{2}=n\)

\(-\ \frac{1}{2}=n\)

A equação reduzida da reta é:

\(y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\)

Multiplicando por 2:

\(2y=3x-1\ \)

Igualando a zero:

\(2y-3x+1=0\)

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Questão 3

Alternativa B

Para analisar a posição relativa entre as retas, sabemos que os coeficientes angulares são \(m_1\) = 2 e \(m_2=-\frac{1}{2}\).

Caso as retas fossem paralelas ou coincidentes, os coeficientes angulares seriam os mesmos, o que não é o caso. Sendo assim, essas retas se interceptam. Verificaremos se elas são perpendiculares:

\(m_1\cdot m_2=-1\)

\(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\)

\(-1=\ -1\ \)

Conclui-se, portanto, que as retas são perpendiculares.

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Questão 4

Alternativa A

A equação reduzida da reta r é:

y = – 3x + 6

Logo, sabemos que \(m_1=-\ 3\).

Como s é perpendicular à reta r, calcularemos o coeficiente angular da reta:

\(m_1\cdot m_2=-\ 1\)

\(-\ 3\cdot m_2=-\ 1\)

\(m_2=\frac{-\ 1}{-\ 3}\)

\(m_2=\frac{1}{3}\)

Como a reta passa pelo ponto P = (3, 4), temos que:

\(y\ =\ mx\ +\ n\)

\(y=\frac{1}{3}x+n\)

\(4=\frac{1}{3}\cdot3+n\)

\(4=1+n\)

\(4-1=n\)

\(n=3\)

Então, a equação da reta s é \(y=\frac{1}{3}x+3\).

Queremos o ponto em que as equações são iguais:

\(\frac{1}{3}x+3=-3x+6\)

\(\frac{1}{3}x+3x=6-3\)

\(\frac{10}{3}x=3\)

\(10x=3\cdot3\)

\(10x=9\)

\(x=\frac{9}{10}\)

 Quando x = \(\frac{9}{10}\), temos que:

\(y=-\ 3x+6\)

\(y=-\ 3\cdot\frac{9}{10}+6\)

\(y=\frac{-27}{10}+6\)

\(y=\frac{33}{10}\)

Assim, o ponto em que as retas se encontram é:

\(\left(\frac{9}{10},\ \frac{33}{10}\right)\)

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Questão 5

Alternativa B

I – Falsa

Duas retas são concorrentes quando elas possuem um único ponto em comum.

II – Verdadeira

Para que duas retas sejam perpendiculares, é necessário que elas formem um ângulo de 90°.

III – Falsa

Duas retas são ditas paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum.

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Questão 6

Alternativa E

As retas r e s são concorrentes por se encontrarem em um único ponto. Além disso, o ângulo formado entre elas é um ângulo reto, logo r e s são retas perpendiculares. As retas t e p são paralelas, pois elas não possuem nenhum ponto em comum. Assim, as posições relativas entre as retas são, respectivamente, concorrentes, perpendiculares e paralelas.

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Questão 7

Alternativa D

A reta é perpendicular à bissetriz, e sabemos que a bissetriz possui equação y = x. Logo, o seu coeficiente é igual a 1.

O produto entre os coeficientes de duas retas perpendiculares é sempre igual a – 1, então podemos concluir que:

\(1\cdot m=-\ 1\)

\(m=-\ 1\ \)

Sendo m = – 1, temos que:

\(y=-\ x\ +\ n\)

Substituindo no ponto (3, 1):

\(1=-\ 3+n\)

\(n=1+3\ \)

\(n=4\ \ \)

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Questão 8

Alternativa D

Analisando a equação das retas, podemos afirmar que elas não são coincidentes nem paralelas, porque os coeficientes angulares são distintos. Logo, nos resta o fato de que essas retas são concorrentes, haja vista que os coeficientes angulares são distintos. Para verificar se essas retas são perpendiculares ou não, basta verificar se o produto entre os coeficientes angulares é \(-\ 1\):

\(m_1\cdot m_2=-\ 1\)

\(2\cdot(-\ 3)=-\ 6\)

Note que o produto entre os coeficientes angulares é diferente de 1. Sendo assim, podemos afirmar que essas retas são concorrentes, mas não perpendiculares.

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Questão 9

Alternativa E

Se as retas são perpendiculares, então elas formam entre si um ângulo reto. Logo, o ângulo APB possui 90°. A bissetriz AC divide esse ângulo ao meio, formando o ângulo APC, de 45°.

Queremos o ângulo suplementar a um ângulo de 45°, que é o ângulo de 180° – 45° = 135°.

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Questão 10

Alternativa A

I – Verdadeira

Duas retas são concorrentes quando elas se encontram em um único ponto.

II – Falsa

As retas fazem um ângulo de 108°.

III – Falsa

As retas são concorrentes, logo elas não são paralelas.

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Questão 11

Alternativa D

Como as retas são perpendiculares, encontraremos o coeficiente angular da primeira:

\(-y=-\ 2x+3\ \ \)

Multiplicando por – 1:

\(y=2x-3\)

Agora, isolaremos o y na segunda equação:

\(ay=-\ 2x+5\)

\(y=\frac{-\ 2}{a}x+\frac{5}{a}\)

Para que as retas sejam perpendiculares, o produto entre os coeficientes angulares deve ser igual a – 1. O coeficiente angular da primeira é 2 e o da segunda é \( \frac{-\ 2}{a}\). Logo, temos que:

\(2\cdot\frac{-\ 2}{a}=-\ 1\)

\(\frac{-\ 4}{a}=-\ 1\)

\(-\ 4=-\ 1a\)

\(\frac{-\ 4}{-\ 1}=a\)

\(a=4\ \)

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Questão 12

Alternativa C

De início, encontraremos a equação reduzida de cada uma delas e, consequentemente, o coeficiente angular:

\(y=-\ x+4\ \)

Então, a primeira equação possui \(m=-\ 1\).

Analisando a segunda equação:

\(y=\frac{2}{2}x-\frac{6}{2}\)

\(y=x-3\ \)

Logo, na segunda equação, \(m=1\).

Como os coeficientes angulares são diferentes, essas retas são concorrentes. Agora, verificaremos se são perpendiculares.

Calculando o produto entre os coeficientes angulares:

\(-\ 1\cdot1=-\ 1\)

Isso mostra que essas retas são perpendiculares e concorrentes.

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