Exercícios sobre Soma dos Termos de uma PG Infinita

Vamos determinar a razão q dessa PG. Para tanto, basta dividir um termo pelo seu antecessor. Considerando o 1° e 2° termos da sequência, temos:

q = a₂
        a₁

q = 2 . 3
      9   2
q = 3
      9
q = 1
      3

Agora que conhecemos a razão, vamos aplicá-la à fórmula da soma dos termos de uma PG infinita, sabendo que a₁ = ²/₃:

S =     a₁   
    1 – q


S = 1

Portanto, a soma dos termos da PG infinita é 1.

Observe que o primeiro membro da equação é uma PG infinita. Logo, para resolvê-la, precisamos determinar a soma dos termos dessa sequência. Primeiramente, determinamos a razão:

q = 2x . 1
      5    x
q = 2
      5

Vamos agora determinar a soma dos termos:

S = a₁
1 – q

S = x . 5
           3
S = 5x
      3

Substituiremos todo o primeiro membro da equação pelo valor da soma encontrada:

x + 2x + 4x + ... = 15
5     25       
5x = 15
3      
5x = 15 · 3
5x = 45
x = 45
      5
x = 9

Portanto, o resultado da equação é x = 9.

Observe que na sequência (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) o primeiro termo não obedece ao padrão estabelecido entre os demais termos. Por isso, vamos separá-lo da sequência e no fim da resolução adicioná-lo à soma encontrada.

Considerando a nova sequência (0,9; 0,09; 0,009; …), vamos calcular o quociente dos termos a₂ = 0,09 e a₁ = 0,9 para determinar a razão dessa PG:

q = a₂
      a₁
q = 0,09
      0,9
q = 0,1

Como q = 0,1 e a₁ = 0,9, podemos calcular a soma dos termos dessa sequência:

S =   a₁  
     1 – q
S =   0,9  
     1 – 0,1
S = 0,9
      0,9
S = 1

A soma dos termos de (0,9; 0,09; 0,009; …) é 1. Somando o termo dispensado no início, obtemos S = 4, o que nos indica que a alternativa correta é a letra e.

Podemos considerar que o primeiro membro da equação é uma PG infinita cujos termos estão sendo somados. Vamos determinar a razão:

q = x²
     1
q = x²

Vamos agora determinar a soma dos termos:

S =    a₁   
     1 – q
S =     1    
       1 – x²

Substituindo o primeiro membro da equação pelo valor da soma S encontrado, teremos:

1 + x² + x⁴ + … + x²ⁿ + … = 25
                                          16
     1     =       25    
1 – x²           16    
(1 – x²) · 25 = 16
25 – 25x² = 16
– 25x² = 16 – 25
– 25x² = – 9
25x² = 9
x² = 9
       25

x = ± 3
         5

Portanto, a alternativa correta é a letra c.