Exercícios sobre soma e produto
Qual é o valor da soma das soluções reais da equação x² + 2x – 3 = 0?
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1
Alternativa B
Utilizando soma e produto, temos que:
\(x_1+x_2=- \frac{b}a\)
\(x_1+x_2=- \frac{ 2}1 =- 2\)
A divisão entre a soma e o produto da equação 2x² – 8x + 2 = 0 é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Alternativa D
\(S=x_1+x_2=\frac{8}2=4\)
\(P=x_1⋅x_2=\frac{2}2=1\)
Então temos que:
\(4∶1=4\)
Conhecendo as raízes \(x_1 \) e \(x_2 \) da equação x² + 2x – 24 = 0, a soma do inverso dessas equações é igual a:
A) 1/8
B) 1/12
C) 1/24
D) 1/36
E) 4/25
Alternativa B
Sabemos que:
\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)
\(x_1+x_2=-\frac{2}1=-2\)
E que:
\(x_1⋅x_2=\frac{-24}{1}=-24\)
Por outro lado, temos que:
\(\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} =\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}\)
Substituindo o valor da soma e do produto, temos que:
\(\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2} =\frac{-2}{-24}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\)
Conhecendo S e P, respectivamente, como a soma e o produto das raízes da equação \(x^2-4x+1=0\), então o valor da diferença S – P é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Alternativa D
Sabemos que:
\(x_1+x_2=-\frac{4}1=4\)
\(x_1⋅x_2=\frac{1}1=1\)
Então S – P = 4 – 1 = 3
Dados \(x_1 \) e \(x_2 \), raízes da equação \(2x^2+5x+3=0\), o valor de \(2(x_1-3)(x_2-3)\) é:
A) 15
B) 18
C) 25
D) 30
E) 38
Alternativa D
Sabemos que:
\(x_1⋅x_2=-\frac{3}2\)
\(x_1+x_2=- \frac{5}2\)
Então temos que:
\(2(x_1-3)(x_2-3)=2(x_1 x_2-3x_1-3x_2+9)\)
\(2(x_1-3)(x_2-3)=2(\frac{-3}{2}-3(x_1+x_2 )+9)\)
\(2(x_1-3)(x_2-3)=2(-\frac{3}{2}-3⋅(-\frac{5}{2})+9)\)
\(2(x_1-3)(x_2-3)=2(\frac{-3+15+18}{2})\)
\(2(x_1-3)(x_2-3)=-3+15+18\)
\(2(x_1-3)(x_2-3)=30\)
Uma equação do segundo grau possui a = 1, e suas raízes são -2 e 5. Marque a alternativa que corresponde a essa equação:
A) x² + 3x – 5 = 0
B) x² +5x – 2 = 0
C) x² -2x + 5 = 0
D) x² – 10x + 3 = 0
E) x² +3x – 10 = 0
Alternativa E
Temos que:
\(x^2+Sx+P=0\)
\(S=x_1+x_2=-2+5=3\)
\(P=x_1⋅x_2=-2⋅5=-10\)
Substituindo os valores conhecidos, encontramos a equação:
\(x^2+3x-10=0\)
Seja b um número real, tal que \(2x^2+bx+6=0\) é uma equação do 2º grau que possui soluções pertencentes ao conjunto dos números inteiros, então o quadrado da soma das raízes é:
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 20
Alternativa D
Sabemos que:
\(x_1⋅x_2=\frac{6}2=3\)
Como \(x_1\) e \(x_2 \) são números inteiros, as soluções possíveis para a equação são (1, 3) e ( -1, -3), pois são os únicos números inteiros cujo produto é 3.
De todo modo, temos que:
\((1+3)^2=4^2=16\)
\((-1+(-3))^2=(-4)^2=16\)
O produto das idades de duas irmãs é igual a 375, e a soma é igual a 39 anos. Então podemos afirmar que a diferença entre as idades da irmã mais velha e da irmã mais nova é igual a:
A) 1 ano
B) 2 anos
C) 3 anos
D) 4 anos
E) 5 anos
Alternativa E
Por soma e produto, temos que:
\(x_1+x_2=39\)
\(x_1⋅x_2=374\)
Como as idades são números inteiros, analisando o produto, temos como possíveis soluções:
(1, 374); (2, 187); (11, 34); (17, 22)
Analisando essas soluções, a única que faz sentido e que possui soma igual a 39 é: (17, 22).
Então a diferença entre as idades dessas irmãs é 22 – 17 = 5 anos.
Quais são as soluções da equação \(x^2+2x-24=0\)?
A) 1, -24
B) -3, 8
C) 3, 8
D) 2, -12
E) 4, -6
Alternativa E
Por soma e produto, temos que:
\(x_1+x_2=-\frac{2}1=-2\)
\(x_1⋅x_2=-\frac{24}{1}=-24\)
Como a soma é negativa, sabemos que a raiz que possui maior valor em módulo será negativa.
Os números cujo produto é -24 são:
\(1⋅(-24)=-24\)
\(2⋅(-12)=-24\)
\(3⋅(-8)=-24\)
\(4⋅(-6)=-24\)
Analisando as soluções, a única cuja soma é igual a -2 é: 4 e -6.
(Fuvest) Se m e n são raízes de x² – 6x + 10 = 0, então \(\frac{1}m+\frac{1}n\) vale:
A) 6
B) 2
C) 1
D) 3/5
E) 1/6
Alternativa D
A soma \(S=m+n=-\frac{-6}1=6\)
O produto \(P=m⋅n=\frac{10}1=10\)
Sabemos que:
\(\frac{1}m+\frac{1}n=\frac{m+n}{m⋅n}\)
Então temos que:
\(\frac{1}m+\frac{1}n=\frac{6}{10}=\frac{3}5\)
O inverso do produto entre as raízes da equação 2x² + 5x + 10 = 0 é:
A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 1/10
E) 1/17
Alternativa D
O produto das raízes da equação é:
\(x_1⋅x_2=\frac{10}2=5\)
Então o inverso desse produto é:
\(\frac{1}5\)
Em uma sala de aula há 35 alunos, entre homens e mulheres. Sabendo que há mais mulheres do que homens nessa sala, qual é a quantidade de mulheres, se o produto entre o total de homens e o total de mulheres é igual a 300?
A) 30 mulheres
B) 25 mulheres
C) 20 mulheres
D) 15 mulheres
E) 10 mulheres
Alternativa C
Por soma e produto temos que:
\(x_1+x_2=35\)
\(x_1⋅x_2=300\)
Os números cujo produto é 300 são:
\(300⋅1=300\)
\(150⋅2=300\)
\(75⋅4=300\)
\(50⋅6=300\)
\(25⋅12=300 \)
\(20⋅15=300 \)
Note que, dessas possíveis soluções, a que possui soma igual a 35 é: 20 mulheres e 15 homens.
