Exercícios sobre Definição de Logaritmos
Determine o número de soluções da equação logarítmica dada por \(log_{10}\ (x+1)+log_{10}\ (x+3)=log_{10}3\).
Restrições
\(x + 1 > 0\\ x >\ – 1\\ x + 3 > 0\\ x >\ –3 \)
\(log_{10}\ (x+1)+log_{10}\ (x+3)=log_{10}3\)
\(log_{10}\ (x+1)\cdot \ (x+3)=log_{10}3\)
\(x^2+4x+3=3\)
\(x^2+4x+3-3=0\)
\(x^2+4x=0\)
\(x\cdot (x+4)=0\)
\(x'=0\)
\(x''=-4\)
Verificação x = 0
\(x >\ –1 \rightarrow 0 >\ –1\ verdadeiro \\ x >\ –3 \rightarrow 0 >\ – 3\ verdadeiro \)
Verificação x = – 4
\(x >\ – 1 \rightarrow\ –4 >\ –1\ falso\\ x >\ –3 \rightarrow\ –4 >\ –1\ falso \)
A equação possui apenas uma solução, S = {0}.
Calcule os valores de x para que a equação \(\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{1}{log_{2x}\ 8}+\frac{1}{log_{4x}\ 8}=2\) seja verdadeira.
Condição de existência
\(x > 0\),
\(x ≠ 1\),
\(x ≠ 1/2\),
\(x ≠ 1/4\)
\(\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{1}{log_{2x}\ 8}+\frac{1}{log_{4x}\ 8}=2\)
\(\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{log_x\ 8}{\frac{log_x\ 8}{log_x(2x)}}+\frac{log_x\ 8}{\frac{log_x\ 8}{log_x(4x)}}=2\)
\(\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{log_x(2x)}{log_x\ 8}+\frac{log_x(4x)}{log_x\ 8}=2\)
\(\frac{1+log_x2+log_xx+log_x4+log^xx}{log_x8}=2\)
\(3+log_x2+2\cdot log_x2=2\cdot log_x2^3\)
\(3+3\cdot log_x2=6\cdot log_x2\)
\(3\cdot log_x2=3\)
\(log_x2=\frac{3}3\)
\(log_x2=1\)
\(x=1\)
Verificação
\(2 > 0\), verdadeiro
\(2 ≠ 1\), verdadeiro
\(2 ≠ 1/2\), verdadeiro
\(2 ≠ 1/4\), verdadeiro
Solução: {2}
(FAAP-SP) Determine a solução da equação \(log_x2\cdot log_{\frac{x}{16}}=log_{\frac{x}{64}}2\).
Restrições
\(x > 0 \)
\(x ≠ 1\)
\(x ≠ 16\)
\(x ≠ 64\)
\(log_x2\cdot log_{\frac{x}{16}}=log_{\frac{x}{64}}2\)
\(log_x2\cdot \frac{log_x2}{log_x(\frac{x}{16})}=\frac{log_x2}{log_x(\frac{x}{64})}\)
\(\frac{log_x2}{log_xx-log_x2^4}=\frac{1}{log_xx-log_x2^6}\)
\(\frac{log_x2}{1-4log_x2}=\frac{1}{1-6log_x2}\)
\(log_x2=y\)
\(\frac{y}{1-4y}=\frac{1}{1-6y}\)
\(y-6y^2-1+4y=0\)
\(-6y^2+5y-1=0\)
\(\triangle=1\)
\(y=\frac{-5±1}{-12} = \left \{ \begin{matrix} y'=\frac{1}{3} \\ y'' =\frac{1}2\end{matrix} \right. \)
\(log_x2=y= \left \{ \begin{matrix} log_x2=\frac{1}{3} \rightarrow {x^{\frac{1}{3}}}=2 \rightarrow x=2^3 \rightarrow x=8 \\ log_x2=\frac{1}{2} \rightarrow {x^{\frac{1}{2}}}=2 \rightarrow x=2^2 \rightarrow x=4\end{matrix} \right. \)
Solução: {4, 8}
(MACK-SP) O volume de um líquido volátil diminui 20% por hora. Após um tempo t, seu volume se reduz à metade. O valor que mais se aproxima t é:
(Use log 2 = 0,30)
a) 2h 30min
b) 2h
c) 3h
d) 3h 24min
e) 4h
\(V_0(1-20)^t-\frac{V_0}{2}\)
\(1\cdot (0,80)^t=\frac{1}2\)
\((0,80)^t=\frac{1}2\)
\(log(0,80)^t=log\frac{1}2\)
\(t\cdot log\frac{8}{10}=log\ 2^{-1}\)
\(t\cdot log\frac{8}{10}=-1\cdot log\ 2\)
\(t\cdot log\frac{8}{10}=-0,30\)
\(t\cdot (log\ 8-log\ 10)=-0,30\)
\(t=\frac{-0,30}{log\ 8-log\ 10}\)
\(t=\frac{-0,30}{log\ 2^3-1}\)
\(t=\frac{-030}{3\cdot log\ 2-1}\)
\(t=\frac{-0,30}{3\cdot 0,30-1}\)
\(t=\frac{-0,30}{0,90-1}\)
\(t=\frac{-0,30}{-0,10}\)
\(t=3\)
Resposta referente ao item c.
