Exercícios sobre Definição de Logaritmos

Restrições

$x + 1 > 0\\ x >\ – 1\\ x + 3 > 0\\ x >\ –3$

$log_{10}\ (x+1)+log_{10}\ (x+3)=log_{10}3$

$log_{10}\ (x+1)\cdot \ (x+3)=log_{10}3$

$x^2+4x+3=3$

$x^2+4x+3-3=0$

$x^2+4x=0$

$x\cdot (x+4)=0$

$x'=0$

$x''=-4$

Verificação x = 0

$x >\ –1 \rightarrow 0 >\ –1\ verdadeiro \\ x >\ –3 \rightarrow 0 >\ – 3\ verdadeiro$

Verificação x = – 4

$x >\ – 1 \rightarrow\ –4 >\ –1\ falso\\ x >\ –3 \rightarrow\ –4 >\ –1\ falso$

A equação possui apenas uma solução, S = {0}.

Condição de existência

$x > 0$,

$x ≠ 1$,

$x ≠ 1/2$,

$x ≠ 1/4$

$\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{1}{log_{2x}\ 8}+\frac{1}{log_{4x}\ 8}=2$

$\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{log_x\ 8}{\frac{log_x\ 8}{log_x(2x)}}+\frac{log_x\ 8}{\frac{log_x\ 8}{log_x(4x)}}=2$

$\frac{1}{log_x\ 8}+\frac{log_x(2x)}{log_x\ 8}+\frac{log_x(4x)}{log_x\ 8}=2$

$\frac{1+log_x2+log_xx+log_x4+log^xx}{log_x8}=2$

$3+log_x2+2\cdot log_x2=2\cdot log_x2^3$

$3+3\cdot log_x2=6\cdot log_x2$

$3\cdot log_x2=3$

$log_x2=\frac{3}3$

$log_x2=1$

$x=1$

Verificação

$2 > 0$, verdadeiro 

$2 ≠ 1$, verdadeiro 

$2 ≠ 1/2$, verdadeiro

$2 ≠ 1/4$, verdadeiro

Solução: {2}

Restrições

$x > 0$

$x ≠ 1$

$x ≠ 16$

$x ≠ 64$

$log_x2\cdot log_{\frac{x}{16}}=log_{\frac{x}{64}}2$

$log_x2\cdot \frac{log_x2}{log_x(\frac{x}{16})}=\frac{log_x2}{log_x(\frac{x}{64})}$

$\frac{log_x2}{log_xx-log_x2^4}=\frac{1}{log_xx-log_x2^6}$

$\frac{log_x2}{1-4log_x2}=\frac{1}{1-6log_x2}$

$log_x2=y$

$\frac{y}{1-4y}=\frac{1}{1-6y}$

$y-6y^2-1+4y=0$

$-6y^2+5y-1=0$

$\triangle=1$

$y=\frac{-5±1}{-12} = \left \{ \begin{matrix} y'=\frac{1}{3} \\ y'' =\frac{1}2\end{matrix} \right.$

$log_x2=y= \left \{ \begin{matrix} log_x2=\frac{1}{3} \rightarrow {x^{\frac{1}{3}}}=2 \rightarrow x=2^3 \rightarrow x=8 \\ log_x2=\frac{1}{2} \rightarrow {x^{\frac{1}{2}}}=2 \rightarrow x=2^2 \rightarrow x=4\end{matrix} \right.$

Solução: {4, 8}

$V_0(1-20)^t-\frac{V_0}{2}$

$1\cdot (0,80)^t=\frac{1}2$

$(0,80)^t=\frac{1}2$

$log(0,80)^t=log\frac{1}2$

$t\cdot log\frac{8}{10}=log\ 2^{-1}$

$t\cdot log\frac{8}{10}=-1\cdot log\ 2$

$t\cdot log\frac{8}{10}=-0,30$

$t\cdot (log\ 8-log\ 10)=-0,30$

$t=\frac{-0,30}{log\ 8-log\ 10}$

$t=\frac{-0,30}{log\ 2^3-1}$

$t=\frac{-030}{3\cdot log\ 2-1}$

$t=\frac{-0,30}{3\cdot 0,30-1}$

$t=\frac{-0,30}{0,90-1}$

$t=\frac{-0,30}{-0,10}$

$t=3$

Resposta referente ao item c.