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Exercícios sobre inequações modulares

Exercícios de Matemática

Estes exercícios sobre inequações modulares requerem a aplicação das propriedades operatórias de módulo, bem como as aplicações gerais de inequação. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Resolva a inequação modular |3x + 5| < 20.

questão 2

Resolva a inequação modular 2 ≤ |2x + 1| ≤ 10 no conjunto dos reais.

questão 3

(EEM – SP) Determine os valores reais de x para os quais 1 < |x – 1| < 2:

questão 4

(Fuvest) Resolva a inequação x.|x| > x

respostas
Questão 1

Vamos remover o módulo da inequação |3x + 5| < 20 para resolvê-la:

|3x + 5| < 20
20 < 3x + 5 < 20
20 – 5 < 3x < 20 – 5
25 < 3x < 15
25 < x < 15
  3             3
25 < x < 5
3           

Portanto, o conjunto solução é .

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Questão 2

Para resolver a inequação modular 2 |2x + 1| 10, é indicado separá-la em duas inequações modulares distintas:

(i) |2x + 1| 10
(ii) 2 ≤ |2x + 1| ou |2x + 1| ≥ 2

Vamos agora resolver a inequação (i) |2x + 1| ≤ 10:

|2x + 1| 10
10 ≤ 2x + 1 10
10 – 12x 10 – 1
11 ≤ 2x 9
11x 9
   2            2

Já com a inequação (ii) |2x + 1| 2, temos:

|2x + 1| ≥ 2
2 ≥ 2x + 1 ≥ 2
2 – 1 ≥ 2x ≥ 2 – 1
3 ≥ 2x ≥ 1
3 ≥ x ≥ 1
  2          2

Por fim, montamos o quadro de resolução:

Quadro de resolução da questão 2
Quadro de resolução da questão 2

A solução que compreende todos os x reais é .

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Questão 3

Para resolver a inequação 1 < |x – 1| < 2, vamos desmembrá-la em duas inequações modulares:

(i) 1 < |x – 1| ou |x – 1| > 1
(ii) |x – 1| < 2

Resolvendo a inequação (i) |x – 1| > 1, temos:

|x – 1| > 1
1 > x – 1 > 1
1 + 1 > x > 1 + 1
0 > x > 2

Já com a inequação (ii) |x – 1| < 2, temos:

|x – 1| < 2
2 < x – 1 < 2
2 + 1 < x < 2 + 1
1 < x < 3

Por fim, montamos o quadro de resolução:

Quadro de resolução da questão 3
Quadro de resolução da questão 3

A solução é .

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Questão 4

A propriedade básica de módulo garante que . Sendo assim, ao resolver a equação, consideramos os dois casos.

1° caso: x ≥ 0

x . x > x
x² > x
x² – x > 0
x.(x – 1) > 0
x' = 0
x'' = 1

 

2° caso: x < 0

x . (– x) > x
– x² > x
– x² – x > 0
x² + x < 0
x.(x + 1) < 0
x' = 0
x'' = – 1

Vamos verificar a solução para os dois casos:

Soluções da questão 4
Soluções da questão 4

Observe que a solução do 1° caso é x < 0 ou x > 1, já a do 2º caso é – 1 < x < 0. Sendo assim, o conjunto solução é .

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