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Exercícios sobre Números Complexos

Exercícios de Matemática

Para resolver estes exercícios sobre números complexos, é importante conhecer as definições da parte imaginária e da parte real, além das potências de i. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Calcule a expressão: (1 + i)2
                                                  
i

questão 2

Resolva a equação do 2º grau: x² – 4x + 5 = 0

questão 3

(PUC) Na soma S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5, onde i = √ –1, o valor de S é:

a) 2 – i

b) 1 – i

c) 2 + i

d) 1 + i

questão 4

(Cefet – MG) O valor da expressão  quando x = i (unidade imaginária) é:

a) (i + 1)

b) – (i – 1)

c) (i + 1)
       
2

d) (i – 1)
      
2

e) – (i – 1)
        
2

respostas
Questão 1

Através dos produtos notáveis, podemos desenvolver o numerador da fração:

(1 + i)²
i

1 + 2i + i²
i

1 + 2i + (– 1)
i

2i
i

2

Portanto, o resultado da expressão é 2.

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Questão 2

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x:

Δ = (– 4)² – 4.1.5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4

Mesmo com o resultado negativo de delta, continuaremos a procura pelo valor de x:

x = – (– 4) ± √– 4
    2.1

x = 4 ± √4.(–1)
   2

x = 4 ± 2√–1
     2

x = 4 ± 2i
     2

x = 2 ± i
x' = 2 + i
x'' = 2 – i

Temos dois valores para x, são eles 2 + i e 2 – i.

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Questão 3

Vamos calcular o valor de cada uma das potências de i:

i2 = (√–1)2 = –1
i3 = i . i2 = – 1. i = – i
i4 = i2 . i2 = (– 1). (– 1) = 1
i5 = i . I4 = i. 1 = i

Vamos agora calcular o valor de S:

S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5
S = 1 + i – 1 – i + 1 + i
S = 1 + i

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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Questão 4

Para resolver essa questão, substituiremos x por i em :

i² – 1
i³ – 1

1 – 1
i – 1

2
1 – i

Multiplicando a fração pelo conjugado do denominador, temos:

   – 2    .  – 1 + i 
1 – i    – 1 + i

2 – 2i
1 – i²

2(1 – i)
1 – (– 1)

2(1 – i)
2

1 – i

A resposta encontrada pode ser escrita também como – (i – 1), que é igual a 1 – i. Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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