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Exercícios sobre Permutação de Números e Letras

Exercícios de Matemática

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Permutação de Números e Letras e veja a resolução comentada. Publicado por: Gabriel Alessandro de Oliveira
questão 1

 U.F.Pelotas – RS

Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.

a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?
b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas nesta ordem?

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questão 2

Um engenheiro de software deseja criar um programa que teste todas as possibilidades de senha de um sistema de uma empresa. A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois algarismos distintos. Sendo assim, responda:

a)      Quantas são as possíveis senhas de acesso?

b)      Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?

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questão 3

 

Um banco adquire um cofre com um sistema de segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6 dígitos. Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou números distintos, responda:

a) Quantas possíveis senhas podem ser formadas?
b) Quantas senhas podem ser formadas tendo três vogais nos primeiros dígitos?

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questão 4

Os produtos de uma empresa são armazenados no banco de dados com um código de 4 letras maiúsculas seguidas por 5 algarismos. Esse sistema será modificado para permitir letras maiúsculas e minúsculas. Após essa modificação, o número atual de códigos será multiplicado por:

a) 2
b) 6
c) 10
d) 18
e) 16

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questão 5

Vunesp - SP

Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Determine quantos números podemos formar (no total) e quantos números são iniciados com o algarismo 1.

b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
 

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respostas
Questão 1

a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.

Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;

P= 3! = 3.2.1  =6

Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.

_____   _____   _____   _____   _____  

Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.

_____   _____   _____   _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.

Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.

   U   _  __E _   _____   _____   _____;
_____      U   _       E   _    _____   _____;
   _____   _____      U   _       E   _    _____;
  _____   _____   _____      U   _       E   _;

Ou seja, 4 possibilidades.

Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.

Possibilidades = 4.P2 .P3

P= Permutação das letras (FPL) ; P= Permutação das vogais (U,E)

Possibilidades = 4.P2 .P= 4.2.3 = 48


b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.
Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.

PEL ____ ____
____ PEL ____
____ ____ PEL

Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.

Possibilidades = 3.P2  

P= Permutação das letras (UF)

Possibilidades = 3 .P= 3.2 = 6
Temos então 6 possibilidades.
 

 

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Questão 2

a) Neste caso não permutaremos todas as letras, pois não temos esse espaço, afinal a senha possui apenas 4 dígitos formados por letras. Isto vale também para os números. Portanto, utilizaremos o caso geral da permutação, que é o Arranjo.

Lembre-se:

Para as letras, temos:

 

Para os números, temos:

Com isso,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.

Senhas = 358800.90 = 32292000 possibilidades 

b) Agora temos restrições para as letras e para os números. Letras: apenas consoantes; e números: somente aqueles maiores que 5.

Teremos, então, 21 possíveis letras para as senhas e 4 números (6,7,8,9).

Com isso, nossa senha ficará da seguinte forma.

Para as letras, temos: 

Para os números, temos: 

Dessa forma,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.

Senhas = 143640.12 = 1723680 possibilidades

 

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Questão 3

a) Nosso campo de possibilidades para os dígitos é um total de 36 caracteres (26 letras e 10 números). Tratando-se de 6 dígitos, faremos os arranjos para esta senha.

 

b) Temos que os três primeiros dígitos devem ser vogais, ou seja, combinaremos as 5 vogais em três dígitos.

Para os outros 3 dígitos teremos os 36 possíveis caracteres, menos as vogais utilizadas, ou seja, 36-3 = 33 possíveis caracteres para a senha.

Com isso,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.
Senha s= 60.32736 = 1964160 possibilidades 

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Questão 4

Vamos construir o sistema de contagem deste código.

26 possibilidades para as letras
10 possibilidades para os números.

O código será da seguinte forma:

LETRA LETRA LETRA LETRA  Nº   Nº   Nº   Nº   Nº.

Com a nova formação do código podendo ser maiúscula ou minúscula, cada letra da senha terá duas possibilidades (maiúscula ou minúscula). Denotaremos esta possibilidade por (2p):

LETRA (2p)  LETRA (2P)  LETRA (2p)   LETRA (2p)    Nº   Nº   Nº   Nº   Nº.

Sabemos que se formos calcular as possibilidades, devemos multiplicar a possibilidade de cada dígito. O diferencial entre o código antigo e o novo são as novas possibilidades para cada letra, ou seja, a diferença de possibilidades entre o antigo e o novo estará no resultado das novas possibilidades.

Possibilidade para os quatro primeiros dígitos do código antigo:

Possibilidade antiga =  A(26,4) = 26letras.25letras.24letras.23letras

Possibilidade para os quatro primeiros dígitos do código novo:

Possibilidade das letras = 26 letras .(2).25letras.(2).24letras.(2).23letras.(2)

Possibilidade das letras = (2).(2).(2).(2).26 letras .25letras.24letras.23letras

Possibilidade das letras = 16.(Possibilidade antiga)

Como os números não mudam, a possibilidade do novo código será:

Novo código = 16.26letras.25letras.24letras.23letras.10números.9números

Ou seja, o número atual de códigos será multiplicado por 16 em relação ao antigo.

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Questão 5

a) Fixaremos o número 1 no primeiro algarismo, permutando os demais. Dessa forma, teremos 5 números para permutarmos em 5 casas.

b) Deveremos calcular quantos números tem em cada casa, na ordem.

Para o primeiro algarismo igual a 1, já temos 120 números.

Para o primeiro algarismo igual a 2, teremos também 120 números.

Para o primeiro algarismo igual a 3, teremos 120 números.

Para o primeiro algarismo igual a 4, teremos 120 números.

O primeiro número após os algarismos, com a primeira casa igual a 4, será o primeiro número da ordem de números com primeiro algarismo igual a 5.

E será o número 512346.

Ou seja, esse número ocupa a posição 481º.

Agora vamos encontrar o número que ocupa a 242ª posição. Vimos que até a 240ª posição são números formados pelos algarismos 1 e 2 na primeira posição, sendo que o número que ocupa a 241ª posição inicia-se com o algarismo 3 na primeira posição.

241ª = 312456

242ª = 312465

Neste caso foi fácil encontrar o número escrevendo-o, pois a posição encontrava-se próxima à mudança de algarismo.

 

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