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Exercícios sobre Relação de Euler

Exercícios de Matemática

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
questão 1

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

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questão 2

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

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questão 3

Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

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questão 4

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

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questão 5

(PUC-MG)

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

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questão 6

(UF-AM)

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

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respostas
Questão 1

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

              

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

 

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Questão 2

V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
 

 

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Questão 3

 

O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

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Questão 4

* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

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Questão 5

P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

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Questão 6

Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

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