Exercícios sobre matriz simétrica
Teste seus conhecimentos por meio desta lista de exercícios sobre matriz simétrica, a matriz cuja sua transposta é ela mesma.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Sabendo que a matriz A é simétrica, determine o valor de x.
\(A=\left[\begin{matrix}2&x\\8&7\\\end{matrix}\right]\)
Alternativa B.
Observe que o enunciado afirma que a matriz é simétrica, logo os elementos a12 e a21 devem ser iguais. Na figura abaixo isso é claro, e podemos concluir que x = 8.
\(A=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{x}\\\color{red}{8}&7\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{a_{12}}\\\color{red}{a_{12}}&7\\\end{matrix}\right]\)
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Questão 2
Determine o valor de x e y sabendo que a matriz M é simétrica.
\(M=\left(\begin{matrix}3&x-2&9\\8&4&7\\9&y+2&5\\\end{matrix}\right)\)
Alternativa D.
Como o enunciado nos traz que a matriz é uma matriz simétrica, primeiro analisaremos 4 termos dessa matriz em específico:
Analisando a matriz, temos que \(\color{red}{\begin{cases} a_{21}=8 \quad \\ a_{12}=x-2& \quad \end{cases}} \) e \( \color{blue}{\begin{cases} a_{32}=y+2 \quad \\ a_{23}=7& \quad \end{cases}} \)
Sabemos que M é matriz simétrica, então a12 = a21 e a32 = a23. Sendo assim, temos que:
\(\color{red}{x-2=8}\)
\(\color{red}{x=8+2}\)
\(\color{red}{x=10}\)
Calculando o valor de y, temos que:
\(\color{blue}{y+2=7}\)
\(\color{blue}{y=7-2}\)
\(\color{blue}{y=5}\)
Então temos que x = 10 e y = 5.
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Questão 3
Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2.
II. Toda matriz identidade é simétrica.
III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica.
Alternativa D.
I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2. (falso)
Existem matrizes simétricas de qualquer ordem.
II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)
Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade para ter \(a_{ij}\neq a_{ji}\).
III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica. (falso)
Existem matrizes nulas que não são quadradas, condição necessária para serem simétricas.
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Questão 4
Considere que a matriz A é simétrica, de ordem 2x2, e obedece à lei de formação:
\(a = \begin{cases} a_{ij}=sen\left(i\pi\right),\ se\ i=1\ \quad \\ a_{ij}=\cos{\left(i\pi\right)},\ se\ i\neq1\ e\ i=j & \quad \end{cases}\)
Determine a matriz B que satisfaz a equação matricial A+B = 0:
Alternativa D.
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.
\(A = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\)
\(a_{11}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0\)
\(a_{12}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0\)
a21 = 0 (da definição de matriz simétrica, pois a12 = a 21)
\(a_{22}=\cos{\left(2\cdot\pi\right)}=1\)
\(A = \left(\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Pelo sistema de equação matricial, temos que B = -A:
\(B = \left(\begin{matrix}0&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\)
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Questão 5
Determine o valor de a e b sabendo que a matriz A é simétrica.
\(A=\left(\begin{matrix}6&a-b&9\\4&4&6\\9&a+b&9\\\end{matrix}\right)\)
Alternativa B.
Analisaremos os termos em destaque:
Temos que: \( \color{red}{\begin{cases} a_{21}=4 \quad \\ a_{12}=a-b& \quad \end{cases}}\)e \( \color{blue}{\begin{cases} a_{32}=a+b \quad \\ a_{23}=6& \quad \end{cases}} \)
Ao afirmar que A é matriz simétrica, concluímos que a12=a21 e a32=a23. Sendo assim, temos que:
\( \begin{cases} \color{red}{a-b=4} \quad \\ \color{blue}{a+b=6} & \quad \end{cases}\)
Efetuando a soma das duas linhas:
\(2a=\ 10\)
\(a=\frac{10}{2}\)
\(a=5\)
Logo a=5.
Substituindo esse valor na segunda linha do sistema:
\(a+b=6\)
\(5+b=6\)
\(b=1\)
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Questão 6
Sabendo que a matriz simétrica N de ordem 2x2 obedece à lei de formação \(a = \begin{cases} a_{12}=3\ \quad \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j & \quad \end{cases}\), podemos afirmar que N é:
A) \(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\\\end{matrix}\right)\)
B) \( \left(\begin{matrix}2&2\\3&3\\\end{matrix}\right)\)
C) \( \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\)
D) \( \left(\begin{matrix}3&3\\2&2\\\end{matrix}\right)\)
E) \( \left(\begin{matrix}3&2\\3&2\\\end{matrix}\right)\)
Alternativa C.
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.
\(N = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\)
\(a_{11}=2\)
\(a_{22}=2\)
\(a_{12}=3\)
Como a matriz N é simétrica, temos que \(a_{12}=a_{21}=3\).
\(N = \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\)
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Questão 7
Sendo \(N=\left(\begin{matrix}2&3\\-1&2\\\end{matrix}\right)\), \(M=\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right) \) e \(P=\left(\begin{matrix}5&-1\\7&5\\\end{matrix}\right)\) matrizes de ordem 2x2, marque a alternativa verdadeira:
Alternativa C.
A alternativa A é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 3 deveriam ser iguais.
A alternativa B é falsa. As matrizes M e N possuem elementos distintos. Numa matriz transposta o que muda é a ordem dos elementos e não seus valores.
A alternativa C é verdadeira. Os elementos \(a_{12}=a_{21}=8\).
A alternativa D é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 7 deveriam ser iguais.
A alternativa E é falsa, pois a matriz possui elementos diferentes de zero.
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Questão 8
\(A=\left(\begin{matrix}7&y\\x&y\\\end{matrix}\right) \) e \(B=\left(\begin{matrix}7&x\\y&2\\\end{matrix}\right)\) são matrizes de ordem 2x2. Sabendo que a matriz B é igual à matriz A e supondo que a matriz A seja matriz simétrica, determine os valores de x e y:
Alternativa C.
Pela definição de matriz simétrica, temos que \(A=\left(\begin{matrix}7&\color{red}{y}\\\color{blue}{x}&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&\color{blue}{x}\\y&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&{x}\\y&\color{red}{2}\\\end{matrix}\right)\). Assim, concluímos que x = y = 2.
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Questão 9
\(A=\left(\begin{matrix}6&8&9\\x&4&y\\9&6&9\\\end{matrix}\right)\) é uma matriz simétrica. Determine a soma de todos os elementos da matriz oposta de A.
Alternativa B.
Pela definição de matriz simétrica, temos que:
\(A=\left(\begin{matrix}6&\color{red}{8}&9\\\color{red}{x}&4&y\\9&6&9\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&x&9\\8&4&\color{red}{6}\\9&\color{red}{y}&9\\\end{matrix}\right)\)
A partir disso, concluímos que x = 8 e y = 6. Somando os termos dessa matriz e multiplicando por -1, obtemos \(-\left(6+8+9+8+4+6+9+6+9\right)=\color{red}{-65}.\).
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Questão 10
Sejam X e Y matrizes 2x2 satisfazendo a expressão X∙Y+Y∙X=0. Sabendo que X é matriz simétrica e Y é igual à transposta da matriz X, podemos afirmar que:
Alternativa E.
Do fato de a matriz X ser simétrica temos X = Y, logo temos que \(X^2+X^2=2X^2=0\).
Escrevendo esse produto de forma genérica:
\(2\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)=2\left(\begin{matrix}a^2+b^2&ab+bc\\ab+b^2&b^2+c^2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)\)
Do resultado acima concluímos que a = 0, e b = 0, e c = 0.
Logo, as matrizes X e Y são matrizes nulas.
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Questão 11
Sobre a definição de matriz simétrica, classifique os itens abaixo em verdadeiros ou falsos.
I. Toda matriz nula é simétrica.
II. Toda matriz identidade é simétrica.
III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade.
IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica.
V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada.
Alternativa A.
I. Toda matriz nula é simétrica. (falso)
Existem matrizes nulas que não são quadradas, logo não são simétricas.
II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)
Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade de haver \(a_{ij}\neq a_{ji}\).
III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade. (falso)
Existem matrizes simétricas com elementos da diagonal principal diferentes de 1, logo não são simétricas.
IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica. (verdadeiro)
Essa é a definição de matriz simétrica.
V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada. (falso)
É uma consequência que a matriz simétrica seja quadrada.
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Questão 12
Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.
\(M=\left(\begin{matrix}4&7&9\\8&4&6\\9&0&9\\\end{matrix}\right)\)
\(B=\left(\begin{matrix}6&8&9\\8&4&5\\9&5&9\\\end{matrix}\right)\)
\(C=\left(\begin{matrix}6&-1&9\\8&4&-1\\9&8&9\\\end{matrix}\right)\)
I. A matriz M é simétrica.
II. A matriz B é simétrica.
III. A matriz C é simétrica.
IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica.
Alternativa B.
I. A matriz M é simétrica. (falso)
M não é uma matriz simétrica, pois os números 7 e 8 são diferentes, além de 6 e 0 serem diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.
II. A matriz B é simétrica. (verdadeiro)
Os elementos fora da diagonal principal são vistos como espelhados por ela.
III. A matriz C é simétrica. (falso)
C não é uma matriz simétrica, pois os números -1 e 8 são diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.
IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica. (falso)
O item II ser verdadeiro torna esse item falso.