Exercícios sobre matriz simétrica

Alternativa B.

Observe que o enunciado afirma que a matriz é simétrica, logo os elementos a₁₂ e a₂₁ devem ser iguais. Na figura abaixo isso é claro, e podemos concluir que x = 8.

\(A=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{x}\\\color{red}{8}&7\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{a_{12}}\\\color{red}{a_{12}}&7\\\end{matrix}\right]\)

Alternativa D.

Como o enunciado nos traz que a matriz é uma matriz simétrica, primeiro analisaremos 4 termos dessa matriz em específico:

Analisando a matriz, temos que \(\color{red}{\begin{cases} a_{21}=8 \quad \\ a_{12}=x-2& \quad \end{cases}} \) e \( \color{blue}{\begin{cases} a_{32}=y+2 \quad \\ a_{23}=7& \quad \end{cases}} \)

Sabemos que M é matriz simétrica, então  a₁₂ = a₂₁ e a₃₂ = a₂₃. Sendo assim, temos que:

\(\color{red}{x-2=8}\)

\(\color{red}{x=8+2}\)

\(\color{red}{x=10}\)

Calculando o valor de y, temos que:

\(\color{blue}{y+2=7}\)

\(\color{blue}{y=7-2}\)

\(\color{blue}{y=5}\)

Então temos que x = 10 e y = 5.

Alternativa D.

I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2. (falso)

Existem matrizes simétricas de qualquer ordem.

II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)

Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade para ter \(a_{ij}\neq a_{ji}\).

III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica. (falso)

Existem matrizes nulas que não são quadradas, condição necessária para serem simétricas.

Alternativa D.

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.

\(A = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\)

\(a_{11}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0\)

\(a_{12}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0\)

a₂₁ = 0 (da definição de matriz simétrica, pois a₁₂ = a ₂₁)

\(a_{22}=\cos{\left(2\cdot\pi\right)}=1\)

\(A = \left(\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

Pelo sistema de equação matricial, temos que B = -A:

\(B = \left(\begin{matrix}0&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\)

Alternativa B.

Analisaremos os termos em destaque:

Temos que: \( \color{red}{\begin{cases} a_{21}=4 \quad \\ a_{12}=a-b& \quad \end{cases}}\)e \( \color{blue}{\begin{cases} a_{32}=a+b \quad \\ a_{23}=6& \quad \end{cases}} \)

Ao afirmar que A é matriz simétrica, concluímos que a12=a21 e a32=a23. Sendo assim, temos que:

\( \begin{cases} \color{red}{a-b=4} \quad \\ \color{blue}{a+b=6} & \quad \end{cases}\)

Efetuando a soma das duas linhas:

\(2a=\ 10\)

\(a=\frac{10}{2}\)

\(a=5\)

Logo a=5.

Substituindo esse valor na segunda linha do sistema:

\(a+b=6\)

\(5+b=6\)

\(b=1\)

Alternativa C.

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.

\(N = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\)

\(a_{11}=2\)

\(a_{22}=2\)

\(a_{12}=3\)

Como a matriz N é simétrica, temos que \(a_{12}=a_{21}=3\).

\(N = \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\)

Alternativa C.

A alternativa A é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 3 deveriam ser iguais.

A alternativa B é falsa. As matrizes M e N possuem elementos distintos. Numa matriz transposta o que muda é a ordem dos elementos e não seus valores.

A alternativa C é verdadeira. Os elementos \(a_{12}=a_{21}=8\).

A alternativa D é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 7 deveriam ser iguais.

A alternativa E é falsa, pois a matriz possui elementos diferentes de zero.

Alternativa C.

Pela definição de matriz simétrica, temos que \(A=\left(\begin{matrix}7&\color{red}{y}\\\color{blue}{x}&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&\color{blue}{x}\\y&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&{x}\\y&\color{red}{2}\\\end{matrix}\right)\). Assim, concluímos que x = y = 2.

Alternativa B.

Pela definição de matriz simétrica, temos que:

\(A=\left(\begin{matrix}6&\color{red}{8}&9\\\color{red}{x}&4&y\\9&6&9\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&x&9\\8&4&\color{red}{6}\\9&\color{red}{y}&9\\\end{matrix}\right)\)

A partir disso, concluímos que x = 8 e y = 6. Somando os termos dessa matriz e multiplicando por -1, obtemos \(-\left(6+8+9+8+4+6+9+6+9\right)=\color{red}{-65}.\).

Alternativa E.

Do fato de a matriz X ser simétrica temos X = Y, logo temos que \(X^2+X^2=2X^2=0\).

Escrevendo esse produto de forma genérica:

\(2\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)=2\left(\begin{matrix}a^2+b^2&ab+bc\\ab+b^2&b^2+c^2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)\)

Do resultado acima concluímos que a = 0, e b = 0, e c = 0.

Logo, as matrizes X e Y são matrizes nulas.

Alternativa A.

I. Toda matriz nula é simétrica. (falso)

Existem matrizes nulas que não são quadradas, logo não são simétricas.

II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)

Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade de haver \(a_{ij}\neq a_{ji}\).

III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade. (falso)

Existem matrizes simétricas com elementos da diagonal principal diferentes de 1, logo não são simétricas.

IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica. (verdadeiro)

Essa é a definição de matriz simétrica.

V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada. (falso)

É uma consequência que a matriz simétrica seja quadrada.

Alternativa B.

I. A matriz M é simétrica. (falso)

M não é uma matriz simétrica, pois os números 7 e 8 são diferentes, além de 6 e 0 serem diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.

II. A matriz B é simétrica. (verdadeiro)

Os elementos fora da diagonal principal são vistos como espelhados por ela.

III. A matriz C é simétrica. (falso)

C não é uma matriz simétrica, pois os números -1 e 8 são diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.

IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica. (falso)

O item II ser verdadeiro torna esse item falso.